AlxisDataBlog-数学・物理学


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    inlineMath: [['$', '$']]
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デコンボリューション前半では何をやってきたのかというと、$\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}$ なる公式を導いてきました。それを受けて後半では、$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ の公式を導きます。


ここで $\psi\mapsto f$ ではなく $\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ と書いた理由は、$\psi$ の動径微分に関する制限($2$ 階以上は使ってはならない)によります。

\begin{align}
\psi(r,y)&=\int_0^{2\pi}f(re(\varphi)+y)\,d\varphi\\
&=\int_0^{2\pi}f(re(\varphi+\theta+\pi)+y)\,d\varphi
\end{align}

と変形しておきましょう。$\psi$ の導関数の線型結合

\begin{align}
(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,y)=\int_0^{2\pi}(\partial_{e(\varphi+\theta+\pi)}-\partial_{e(\theta)})f(re(\varphi+\theta+\pi)+y)\,d\varphi
\end{align}

に $y=z+re(\theta)$ を代入すると

\begin{align}
&(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\\
&=\int_0^{2\pi}(\partial_{e(\varphi+\theta+\pi)}-\partial_{e(\theta)})f(re(\varphi+\theta+\pi)+re(\theta)+z)\,d\varphi\\
&=-\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}(\partial_{e(\varphi+\theta+3\pi/2)}+\partial_{e(\theta+\pi/2)})f(re(\varphi+\theta+\pi)+re(\theta)+z)\,d\varphi\\
&=-\dfrac{1}{r}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}\partial_{\theta}f(re(\varphi+\theta+\pi)+re(\theta)+z)\,d\varphi
\end{align}

ここでヒルベルト変換

\begin{align}
\mathscr{H}f(\theta,z)=-\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}f(re(\varphi+\theta+\pi)+re(\theta)+z)\,d\varphi
\end{align}

を定義すると

\begin{align}
(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))=\dfrac{1}{r}\partial_{\theta}\mathscr{H}f(\theta,z)
\end{align}

と書くことができます。$\theta$ に関して $0$ から $\theta$ まで積分して

\begin{align}
r\int_0^{\theta}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=\mathscr{H}f(\theta,z)-\mathscr{H}f(0,z)
\end{align}

これを更に $0$ から $2\pi$ まで積分して

\begin{align}
r\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_0^{\theta}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}\,d\theta=-2\pi\mathscr{H}f(0,z)
\end{align}

これで $\mathscr{H}f(0,z)$ が求まりますね。左辺は積分の順序を変えてみると積分が消えて

\begin{align}
r\int_0^{2\pi}(2\pi-\theta)(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=-2\pi\mathscr{H}f(0,z)
\end{align}

となるのでこの式を使いましょう。$3$ つ上の式に代入して $\mathscr{H}f(0,z)$ を消去すると

\begin{align}
\mathscr{H}f(\theta,z)&=r\int_0^{\theta}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{r}{2\pi}\int_0^{2\pi}(2\pi-\theta)(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

ヒルベルト像が計算できました。最後にヒルベルト変換の反転公式を求めます。ヒルベルト変換の定義式に $\theta=\theta+\pi,z=z+re(\theta)$ を代入して

\begin{align}
\mathscr{H}f(\theta+\pi,z+re(\theta))&=-\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}f(re(\varphi+\theta)+z)\,d\varphi\\
&=-\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\varphi-\theta)}{\sin(\varphi-\theta)}f(re(\varphi)+z)\,d\varphi
\end{align}

右辺は以前やりましたね。

\begin{align}
\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\bigg\{\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\varphi-\theta)}{\sin(\varphi-\theta)}f(re(\varphi)+z)\,d\varphi\bigg\}\,d\theta=-4\pi^2f(re(\tau)+z)+2\pi\psi(r,z)
\end{align}

これで反転公式が求まります。

\begin{align}
\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z+re(\theta))\,d\theta=4\pi^2f(re(\tau)+z)-2\pi\psi(r,z)
\end{align}

今回はここまで。次回は、今回求めた公式の安定化をやります。(written by J.Nishigata)


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デコンボリューション後半

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前々回、前回と、$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ を計算するための反転公式を導きました。今回は、細かい部分は省略して、フィルタサイズに関してのみ考察してみようと思います。


$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto\mathscr{H}f$ の計算を思い出してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{H}f(\theta,z)&=r\int_0^{\theta}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{r}{2\pi}\int_0^{2\pi}(2\pi-\theta)(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

$\mathscr{H}f(\theta,z)$ の計算に必要なフィルタは $z$ を中心とする半径 $r$ の円です。続いて $\mathscr{H}f\mapsto f$ の計算を思い出しましょう。

\begin{align}
4\pi^2f(z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z-re(\tau))
\end{align}

右辺の第 $1$ 項は $z-re(\tau)+re(\theta)$ を中心とする半径 $r$ のフィルタを $\theta$ に関して積分したもの、すなわち $z-re(\tau)$ を中心とする半径 $2r$ のフィルタになります。更に前回求めた $\tau$ で積分した公式は同様に考えて $z$ を中心とする半径 $3r$ のフィルタになることが分かります。


$\psi$ の PSF 径が $r$ なので、反転公式に $2r,3r$ のようなサイズのフィルタを使うことに違和感を感じないでしょうか。


$z-re(\tau)$ を中心とする半径 $2r$ のフィルタは $z$ から見れば長径 $3r$ 短径 $r$ と考えることもできます。このことからもフィルタサイズは、実は最小で半径 $r$ にできるのではないかと推測できます。


今回はここまで。次回は最小なフィルタの算出を試みようと思います。(written by J.Nishigata)


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反転公式の安定化