AlxisDataBlog-数学・物理学


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まず、前回の式を復習しましょう。

\begin{align}
4\pi^2f(re(\tau)+z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z)
\end{align}

この式で $z=z-re(\tau)$ を代入すると

\begin{align}
4\pi^2f(z)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta+2\pi\psi(r,z-re(\tau))
\end{align}

という式になります。この式で何を言いたいのかというと、左辺には $\tau$ が含まれない一方、右辺には含まれるということです。すなわち、右辺は $\tau$ に依存せず $4\pi^2f(z)$ に等しくなります。


以前、充分遠くで消える関数の超解像でもやりましたが、その他ラプラシアンを考えるとき等でも、回転に依存しないという式は度々現れます。


回転に依存しないという性質は、理論に限定した話ですので、実験値で利用する場合には特定の角度を選択するのではなく角度に関する積分平均をとる方がノイズ面で高性能です。今の場合は

\begin{align}
8\pi^3f(z)=\int_0^{2\pi}\bigg\{\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(\theta-\tau)}{\sin(\theta-\tau)}\mathscr{H}f(\theta+\pi,z-re(\tau)+re(\theta))\,d\theta\bigg\}\,d\tau+2\pi\int_0^{2\pi}\psi(r,z-re(\tau))\,d\tau
\end{align}

とするとノイズに強くなります。今回はここまで。次回はフィルタサイズの話をします。(written by J.Nishigata)


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反転公式の安定化

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$\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ のフィルタサイズは、半径 $2r$ だったり $3r$ だったり、今推測している $r$ だったり、一意的ではありません。これらのフィルタ同士の差は何でしょうか。


理論的にはどのフィルタを使っても同じ結果が得られる、ということは、フィルタの差分は理論的に零になるものであると言えます。


今までの議論で、理論的に零である式が $2$ つ有りました。覚えているでしょうか。ここで話題に上げたいものは

\begin{align}
r\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=\mathscr{H}f(2\pi,z)-\mathscr{H}f(0,z)=0
\end{align}

という式です。左辺には半径 $r$ のフィルタが掛かっていますが、右辺は零です。このフィルタの何らかの畳込み像が反転公式の各フィルタの差分になっているのではないかと考えられます。


この点を踏まえて、次回は最小サイズのフィルタを導こうと思います。(written by J.Nishigata)


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反転公式のフィルタサイズ