AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、ファンク変換を $p\in\partial S_y$ 方向に微分します。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}\partial_{yp}f\omega
\end{align}

$\partial_{yp}$ を $y$ 方向と $p$ 方向へ分解すると $-\langle p,x\rangle \partial_y+\langle y,x\rangle \partial_p$ ですので

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega
\end{align}

ここで $d(\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p)=-\langle p,x\rangle\partial_yf\omega+\langle y,x\rangle\partial_pf\omega$ であることに注意しましょう。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}d(\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p)\\
&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle y,x\rangle f\omega^p\\
&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y
\end{align}

この式をもう一度微分してみましょう。

\begin{align}
\partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle (-\langle p,x\rangle \partial_y+\langle y,x\rangle \partial_p)f\omega^y\\
&=-\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y
\end{align}

これを $y$ に垂直な正規直交な $p$ に渡り和をとると、左辺は球面ラプラシアンになり

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}f=-\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y
\end{align}

が得られます。次は積分領域を分解していきます。$\partial S_y$ 上の互いに直交する $2$ 点 $p_1,p_2$ に対して $p_1$ から $p_2$ へ $s$ だけ回転させる行列を $R_s$ とおきます。$p(s)=R_sp_1,q(s)=R_sp_2$ とおきましょう。


$p(s)$ を頂点とする $\partial S_y$ 上の $n-2$ 次元半球面を $(\partial S_y)_{p(s)}$ 、その上の体積形式を $\tilde{\omega}$ とおきます。$q(s)$ を頂点とする $\partial(\partial S_y)_{p(s)}$ 上の $n-3$ 次半球面を $\tilde{S}$ とおきます。


以上で分解する準備が整いました。$\partial S_y$ を $\partial(\partial S_y)_{p(s)}$ 方向と $s$ 方向に分解します。

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}f&=-\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle\partial_y f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),x\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),\langle q(s),x\rangle q(s)\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle}{\langle p(t),q(s)\rangle}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=-\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\sin(s-t)}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\partial_{yp(t)} f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds
\end{align}

円周上のヒルベルト変換が登場しましたね。ヒルベルト像に関して解いて逆ヒルベルト変換を掛ければ

\begin{align}
\int_{\tilde{S}}\{f(x)-f(-x)\}\tilde{\omega}
\end{align}

が求まります。これは $n-3$ 次元球面に対するファンク変換になっていることに注意しましょう。以上の操作を実行すると次元は $-2$ 変化していき帰納的に零次元若しくは $1$ 次元のファンク変換の値が求まります。$1$ 次元のファンク変換は微分すれば簡単に解けるので省略しましょう。


以上がヒルベルト変換を使ったファンク変換の反転公式です。今回はここまで。次回も球面上の話です。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

ヒルベルト変換を用いたファンク変換の解析

AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、$p\in\partial S_y$ 方向に半球面コサイン変換を微分します。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}\langle x,y\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega
\end{align}

今回は微分形式は、外微分の剰余が残りますね。

\begin{align}
d(\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p)=-\langle p,x\rangle f\omega-\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle\partial_yf\omega+\langle x,y\rangle^2\partial_pf\omega
\end{align}

したがって

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p\\
&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega
\end{align}

この式をもう一回微分してみましょう。

\begin{align}
\partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega
\end{align}

この微分形式は $1$ 階微分のときの形式の $p,y$ を反転させた形になっているので簡単に計算できて

\begin{align}
\partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=-\int_{S_y}\langle y,x\rangle f\omega-\int_{\partial S_y}\langle x,p\rangle\langle y,x\rangle f\omega^p-\langle x,p\rangle^2 f\omega^y\\
&=-\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y\\
&=-\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y
\end{align}

これで球面ラプラシアンを計算できます。

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}f=-(n-1)\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

前回のファンク変換のときは $\partial_yf$ の積分値が求まりましたが、今回は $f$ の積分になっていますね。ここから先は前回と同様に積分領域の分解をして計算を進めます。

\begin{align}
\partial_{yq(t)}\{\Delta^S\mathscr{K}f+(n-1)\mathscr{K}f\}&=-\int_{\partial S_y}\langle q(t),x\rangle \partial_yf\omega^y\\
&=-\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle \partial_yf\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle}{\langle p(t),x\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(s),x\rangle\langle q(t),q(s)\rangle}{\langle q(s),x\rangle\langle p(t),q(s)\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=-\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos(s-t)}{\sin(s-t)}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle\partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds
\end{align}

期待通りに円周上のヒルベルト変換の形になりました。ヒルベルト像に関して解き逆ヒルベルト変換を掛けることによって

\begin{align}
\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \{f(x)+f(-x)\}\tilde{\omega}
\end{align}

が求まります。この式は $n-3$ 次元球面に対する半球面コサイン変換ですね。帰納的に零次元若しくは $1$ 次元の半球面コサイン変換に帰着して $f(x)+f(-x)$ が求まります。零次元の問題は自明ですが、$1$ 次元の問題も $2$ 階微分すれば簡単に求まります。


今回はここまで。次回も応用例です。具体的な計算のストックは有れば有る程に便利になるので、できる限り応用例の紹介は続けます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

ファンク-ヘッケの定理を用いた半球面コサイン変換の解析