AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回のファンク変換の次いで簡単な積分変換を扱います。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega
\end{align}

半球面コサイン変換と呼ばれているものです。まずは良く知られた方法であるファンク-ヘッケの定理で考えてみましょう。以前と同じようにロドリゲスの公式を使い

\begin{align}
m_k=\sigma_{n-2}A_{k,n}\int_0^1t\partial^k(1-t^2)^{k+(n-3)/2}\,dt
\end{align}

ここから場合分けをして計算していきます。まずは $k=0$ のとき

\begin{align}
m_0=\sigma_{n-2}A_{0,n}\int_0^1t(1-t^2)^{(n-3)/2}\,dt=\dfrac{\sigma_{n-2}A_{0,n}}{n-1}
\end{align}

これは簡単でしたね。$k=1$ のときも簡単に

\begin{align}
m_1&=\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1t\partial (1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=\sigma_{n-2}A_{1,n}[t(1-t^2)^{1+(n-3)/2}]_0^1-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1(1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^1(1-t^2)^{1+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}\theta\,d\theta\\
&=-\sigma_{n-2}A_{1,n}\dfrac{\Gamma(1/2)\Gamma(n/2)}{2\Gamma((n+1)/2)}
\end{align}

と計算できます。$k\ge 2$ のときは

\begin{align}
m_k&=-\sigma_{n-2}A_{k,n}\int_0^1\partial^{k-1}(1-t^2)^{k+(n-3)/2}\,dt\\
&=-\sigma_{n-2}A_{k,n}[\partial^{k-2}(1-t^2)^{k+(n-3)/2}]_0^1\\
&=-\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-2,n+4}}[(1-t^2)^{(n+1)/2}P_{k-2,n+4}]_0^1\\
&=\dfrac{\sigma_{n-2}A_{k,n}}{A_{k-2,n+4}}P_{k-2,n+4}(0)
\end{align}

以上ですべての係数が計算できました。最後に係数が消えるか否かを調べておきましょう。$m_0\neq 0,m_1\neq 0$ は明らかです。$k\ge 2$ に関してはルジャンドル多項式の原点での値を確認すればよいので、$k$ が偶数の場合は $m_k\neq 0$、奇数の場合は $m_k=0$ であることが分かります。


今回はここまで。次回はヒルベルト変換を使って半球面コサイン変換を調べていきます。(written by J.Nishigata)


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ファンク-ヘッケの定理を用いた半球面コサイン変換の解析

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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まず、今回扱う積分変換を定義しましょう。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

球面ラドン変換と呼ばれています。ラドン変換と比較すると、測地面上で積分するという点が共通していますね。また、球面ラドン変換は半球面コサイン変換の球面ラプラシアンの結果得られることも前回調べています。


半球面コサイン変換の反転公式と比較して、初手の球面ラプラシアンの計算分だけ不要になります。残りのロジックは共通ですので、球面ラドン変換も簡単ですね。前回の手順を復習してみてください。


今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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ヒルベルト変換を用いた半球面コサイン変換の解析