AlxisDataBlog-数学・物理学

まず、$p\in\partial S_y$ 方向に半球面コサイン変換を微分します。

\begin{align} \partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}\langle x,y\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega \end{align}

今回は微分形式は、外微分の剰余が残りますね。

\begin{align} d(\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p)=-\langle p,x\rangle f\omega-\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle\partial_yf\omega+\langle x,y\rangle^2\partial_pf\omega \end{align}

したがって

\begin{align} \partial_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p\\ &=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega \end{align}

この式をもう一回微分してみましょう。

\begin{align} \partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega \end{align}

この微分形式は $1$ 階微分のときの形式の $p,y$ を反転させた形になっているので簡単に計算できて

\begin{align} \partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=-\int_{S_y}\langle y,x\rangle f\omega-\int_{\partial S_y}\langle x,p\rangle\langle y,x\rangle f\omega^p-\langle x,p\rangle^2 f\omega^y\\ &=-\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y\\ &=-\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y \end{align}

これで球面ラプラシアンを計算できます。

\begin{align} \Delta^S\mathscr{K}f=-(n-1)\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}f\omega^y \end{align}

前回のファンク変換のときは $\partial_yf$ の積分値が求まりましたが、今回は $f$ の積分になっていますね。ここから先は前回と同様に積分領域の分解をして計算を進めます。

\begin{align} \partial_{yq(t)}\{\Delta^S\mathscr{K}f+(n-1)\mathscr{K}f\}&=-\int_{\partial S_y}\langle q(t),x\rangle \partial_yf\omega^y\\ &=-\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle \partial_yf\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle}{\langle p(t),x\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(s),x\rangle\langle q(t),q(s)\rangle}{\langle q(s),x\rangle\langle p(t),q(s)\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\ &=-\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos(s-t)}{\sin(s-t)}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle\partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds \end{align}

期待通りに円周上のヒルベルト変換の形になりました。ヒルベルト像に関して解き逆ヒルベルト変換を掛けることによって

\begin{align} \int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \{f(x)+f(-x)\}\tilde{\omega} \end{align}

が求まります。この式は $n-3$ 次元球面に対する半球面コサイン変換ですね。帰納的に零次元若しくは $1$ 次元の半球面コサイン変換に帰着して $f(x)+f(-x)$ が求まります。零次元の問題は自明ですが、$1$ 次元の問題も $2$ 階微分すれば簡単に求まります。

今回はここまで。次回も応用例です。具体的な計算のストックは有れば有る程に便利になるので、できる限り応用例の紹介は続けます。(written by J.Nishigata)

ヒルベルト変換を用いた半球面コサイン変換の解析