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まず、$p\in\partial S_y$ 方向に半球面コサイン変換を微分します。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f=\int_{S_y}\langle x,y\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega
\end{align}

今回は微分形式は、外微分の剰余が残りますね。

\begin{align}
d(\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p)=-\langle p,x\rangle f\omega-\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle\partial_yf\omega+\langle x,y\rangle^2\partial_pf\omega
\end{align}

したがって

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle x,y\rangle\langle p,x\rangle f\omega^y-\langle x,y\rangle^2 f\omega^p\\
&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle f\omega
\end{align}

この式をもう一回微分してみましょう。

\begin{align}
\partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=\int_{S_y}\langle p,x\rangle(-\langle p,x\rangle \partial_yf+\langle y,x\rangle \partial_pf)\omega
\end{align}

この微分形式は $1$ 階微分のときの形式の $p,y$ を反転させた形になっているので簡単に計算できて

\begin{align}
\partial^2_{yp}\mathscr{K}f&=-\int_{S_y}\langle y,x\rangle f\omega-\int_{\partial S_y}\langle x,p\rangle\langle y,x\rangle f\omega^p-\langle x,p\rangle^2 f\omega^y\\
&=-\int_{S_y}\langle x,y\rangle f\omega+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y\\
&=-\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 f\omega^y
\end{align}

これで球面ラプラシアンを計算できます。

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}f=-(n-1)\mathscr{K}f+\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

前回のファンク変換のときは $\partial_yf$ の積分値が求まりましたが、今回は $f$ の積分になっていますね。ここから先は前回と同様に積分領域の分解をして計算を進めます。

\begin{align}
\partial_{yq(t)}\{\Delta^S\mathscr{K}f+(n-1)\mathscr{K}f\}&=-\int_{\partial S_y}\langle q(t),x\rangle \partial_yf\omega^y\\
&=-\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle \partial_yf\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(t),x\rangle}{\langle p(t),x\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=\int_0^{2\pi}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\dfrac{\langle q(s),x\rangle \langle q(s),x\rangle\langle q(t),q(s)\rangle}{\langle q(s),x\rangle\langle p(t),q(s)\rangle} \partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds\\
&=-\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos(s-t)}{\sin(s-t)}\bigg\{\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle\partial_{yp(t)}f\tilde{\omega}\bigg\}\,ds
\end{align}

期待通りに円周上のヒルベルト変換の形になりました。ヒルベルト像に関して解き逆ヒルベルト変換を掛けることによって

\begin{align}
\int_{\tilde{S}}\langle q(s),x\rangle \{f(x)+f(-x)\}\tilde{\omega}
\end{align}

が求まります。この式は $n-3$ 次元球面に対する半球面コサイン変換ですね。帰納的に零次元若しくは $1$ 次元の半球面コサイン変換に帰着して $f(x)+f(-x)$ が求まります。零次元の問題は自明ですが、$1$ 次元の問題も $2$ 階微分すれば簡単に求まります。


今回はここまで。次回も応用例です。具体的な計算のストックは有れば有る程に便利になるので、できる限り応用例の紹介は続けます。(written by J.Nishigata)


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ヒルベルト変換を用いた半球面コサイン変換の解析

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今回の積分変換は、ラドン変換を少し改造したものになります。ラドン変換では

\begin{align}
\Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0\}
\end{align}

としましたが、今回は

\begin{align}
\Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0,\|x\|\le 1\}
\end{align}

という $n-m$ 次元球体を定義して

\begin{align}
\mathscr{R}f(g)=\int_{\Omega}f(gx)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n
\end{align}

このように積分変換を定義します。$\partial\Omega$ の元 $p$ と $\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\dots=x^m=0\}$ の直交空間上の単位ベクトル $q$ をとっておきます。まず、 $\mathscr{R}f(g)$ を $gp$ 方向へ微分してみます。

\begin{align}
\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\Omega}\partial_p(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n
\end{align}

ここで

\begin{align}
\xi^p=\sum_{i=m+1}^n(-1)^{i-m-1}p^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

とおくと $d(g^{-1}f\xi^p)=\partial_p(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n$ が成立するので

\begin{align}
\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}g^{-1}f\xi^p
\end{align}

更に $\partial\Omega$ の体積形式

\begin{align}
\omega=\sum_{i=m+1}^n(-1)^{i-m-1}x^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n
\end{align}

を定義すると $\xi^p=\langle p,x\rangle\omega$ となるので

\begin{align}
\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}\langle p,x\rangle g^{-1}f\omega
\end{align}

$\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)$ を更に $\partial_{qe_i},i=m+1,\dots,n$ で微分してみます。

\begin{align}
\partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=-\int_{\partial\Omega}\langle e_i,x\rangle^2 \partial_q(g^{-1}f)\omega
\end{align}

$i$ に関する総和をとれば簡単な式になりますね。

\begin{align}
\sum_{i=m+1}^n\partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=-\int_{\partial\Omega}\partial_q(g^{-1}f)\omega
\end{align}

この式に見覚えはありますでしょうか。右辺はファンク変換のラプラシアンで出てきた式です。続いて $\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)$ を $q$ 方向へ微分してみます。

\begin{align}
\partial_q\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\partial\Omega}\langle p,x\rangle \partial_q(g^{-1}f)\omega
\end{align}

こちらは半球面コサイン変換で出てきた式です。$2$ つの式から $\partial\Omega$ 上で $g^{-1}f$ が計算できるとしたいところですが、後者の式で逆ヒルベルト変換を実行するとき、定数分の不定性があり $\partial\Omega$ 上での $g^{-1}f$ の積分値が必要でした。したがって、一旦

\begin{align}
\mathscr{K}f_0(g)=\int_{\partial\Omega}f_0(gx)\omega
\end{align}

に初期条件

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}f_0\omega=0
\end{align}

を与えて、

\begin{align}
&\partial_q(g^{-1}\mathscr{K}f_0)(1)=-\sum_{i=m+1}^n\partial_{qe_i}\partial_{e_i}(g^{-1}\mathscr{R}f)(1),\\
&\partial_{qp}(g^{-1}\mathscr{K}f_0)(1)=-\partial_q\partial_p(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)
\end{align}

を $\mathscr{K}f_0(g)$ に関して解きます。これで不定性無く逆ヒルベルト変換が使えて $f_0$ が求まります。最後に勝手に決めた初期条件を修正すれば良いでしょう。

\begin{align}
\mathscr{R}(f_0+c)(1)=\mathscr{R}f(1)
\end{align}

を解くことにより定数 $c$ を求めます。$f=f_0+c$ が解ですね。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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球面ラドン変換