AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回のウィンターニッツ変換の最初に定義した $\nu$ という関数は何なのか気になった方もいるでしょう。今回は $\nu$ の意味に関して考察してみます。


まず、微分連続な関数 $f:S^{n-1}\to\mathbb{R}$ を与えます。$f(x)x$ での接ベクトルを考えましょう。


$x$ に直交する単位ベクトル $\tilde{x}$ をとり、回転微分 $\partial_{x\tilde{x}}$ を $f(x)x$ に掛けてみます。

\begin{align}
\partial_{x\tilde{x}}(f(x)x)=(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)\tilde{x}
\end{align}

これが接ベクトルですね。この接ベクトルと $\nu$ との内積を計算します。

\begin{align}
\bigg\langle(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)\tilde{x},\dfrac{\alpha fx+(\partial_xf)x-\nabla f}{\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}}\bigg\rangle=\dfrac{\alpha f\partial_{\tilde{x}}f-f\partial_{\tilde{x}}f}{\sqrt{(\alpha f)^2-(\partial_x f)^2+\|\nabla f\|^2}}
\end{align}

この値は $\alpha=1$ のとき零になります。したがって $\alpha=1$ のときの $\nu$ は $f(x)x$ の単位法線ベクトルになっているわけですね。


また、$f$ に $1/\alpha$ 乗の重みが付けられている場合は、$f(x)^{1/\alpha}x$ の接ベクトルは

\begin{align}
\partial_{x\tilde{x}}(f(x)^{1/\alpha}x)=\dfrac{1}{\alpha}f(x)^{1/\alpha-1}(\partial_{\tilde{x}}f)x+f(x)^{1/\alpha}\tilde{x}
\end{align}

となるので、$\nu$ との内積は零になります。今回はここまで。次回も $\nu$ を使った積分変換の話です。(written by J.Nishigata)


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動径関数の単位法線ベクトル場

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まず、積分変換を定義しましょう。今回は或る程度の一般性をもった積分変換です。$N$ 次多項式 $K$ に対して

\begin{align}
\mathscr{K}_Kf(y)=\int_{S_y}K(\langle x,y\rangle)f(x)\omega
\end{align}

この積分変換は半球面一般コサイン変換と呼ばれます。今までやってきた、ファンク変換、半球面コサイン変換、そしてウィンターニッツ変換に登場した $K(t)=1+t$ という積分変換も今回考える積分変換の具体例となっています。


直接ファンク-ヘッケの因子を計算しても良いのですが、計算を楽にするために式変形の工夫をやりましょう。


まずは、多項式 $K$ をルジャンドル多項式に直交分解してみます。

\begin{align}
K=\sum_{i=0}^Nc_iP_i
\end{align}

各係数の計算方法は覚えていますか。

\begin{align}
\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}P_iK\,dt&=\sum_{j=0}^Nc_j\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}P_iP_j\,dt\\
&=\sum_{j=0}^Nc_j\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sigma_{n-2}N_j}\delta_{ij}\\
&=c_i\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sigma_{n-2}N_i}
\end{align}

このようにして求めましたね。ここに $N_i=\dim H^i$ を意味します。続いてルジャンドル多項式の偶奇で分けます。

\begin{align}
&K=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i}+\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i},\\
&k_i:\ \text{even number,}\ l_i:\ \text{odd number}
\end{align}

偶関数の和を $K_0$ 奇関数の和を $K_1$ と書いておきます。

\begin{align}
K_0=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i},\ K_1=\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i}
\end{align}

突然ですが、各項が零ではない互いに異なる数列 $\{z_1,\dots,z_m\}$ に対して正方行列 $((z_i)^j)$ は正則でしょうか。

\begin{align}
\sum_{j=1}^m\alpha_j(z_i)^j=0,\ i=1,\dots,m
\end{align}

ならば $z_1,\dots,z_m$ は 高々 $m$ 次の方程式 $\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=0$ の解でなければなりません。

\begin{align}
\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=\alpha_m(\lambda-z_1)\cdots(\lambda-z_m)
\end{align}

$\lambda=0$ を代入すると $\alpha_m=0$ が得られます。したがって恒等式として $\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=0$ すなわち $\alpha_1=\dots=\alpha_m=0$ が得られます。以上で $((z_i)^j)$ が正則であると分かりました。


$((\lambda_{k_i})^j),((\lambda_{l_i})^j)$ は共に正則です。したがって $\{a_i\},\{b_i\}$ が存在して

\begin{align}
\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\lambda_{k_i})^j=1,\ \sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\lambda_{l_i})^j=1
\end{align}

とすることができます。これを使うと

\begin{align}
K_0&=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i}=c_0+\sum_{i,j=1}^{\mu_0}c_{k_i}a_j(\lambda_{k_i})^jP_{k_i}\\
&=c_0+\sum_{i,j=1}^{\mu_0}c_{k_i}a_jL^jP_{k_i}=c_0+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_0
\end{align}

同様にして

\begin{align}
K_1=\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_1
\end{align}

と変形できます。ここに $L$ はルジャンドル作用素です。今回はここまで。次回は球面ラプラシアンの冪級数の零点の話をします。(written by J.Nishigata)


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