AlxisDataBlog-数学・物理学


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まず、積分変換を定義しましょう。今回は或る程度の一般性をもった積分変換です。$N$ 次多項式 $K$ に対して

\begin{align}
\mathscr{K}_Kf(y)=\int_{S_y}K(\langle x,y\rangle)f(x)\omega
\end{align}

この積分変換は半球面一般コサイン変換と呼ばれます。今までやってきた、ファンク変換、半球面コサイン変換、そしてウィンターニッツ変換に登場した $K(t)=1+t$ という積分変換も今回考える積分変換の具体例となっています。


直接ファンク-ヘッケの因子を計算しても良いのですが、計算を楽にするために式変形の工夫をやりましょう。


まずは、多項式 $K$ をルジャンドル多項式に直交分解してみます。

\begin{align}
K=\sum_{i=0}^Nc_iP_i
\end{align}

各係数の計算方法は覚えていますか。

\begin{align}
\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}P_iK\,dt&=\sum_{j=0}^Nc_j\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}P_iP_j\,dt\\
&=\sum_{j=0}^Nc_j\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sigma_{n-2}N_j}\delta_{ij}\\
&=c_i\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sigma_{n-2}N_i}
\end{align}

このようにして求めましたね。ここに $N_i=\dim H^i$ を意味します。続いてルジャンドル多項式の偶奇で分けます。

\begin{align}
&K=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i}+\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i},\\
&k_i:\ \text{even number,}\ l_i:\ \text{odd number}
\end{align}

偶関数の和を $K_0$ 奇関数の和を $K_1$ と書いておきます。

\begin{align}
K_0=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i},\ K_1=\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i}
\end{align}

突然ですが、各項が零ではない互いに異なる数列 $\{z_1,\dots,z_m\}$ に対して正方行列 $((z_i)^j)$ は正則でしょうか。

\begin{align}
\sum_{j=1}^m\alpha_j(z_i)^j=0,\ i=1,\dots,m
\end{align}

ならば $z_1,\dots,z_m$ は 高々 $m$ 次の方程式 $\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=0$ の解でなければなりません。

\begin{align}
\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=\alpha_m(\lambda-z_1)\cdots(\lambda-z_m)
\end{align}

$\lambda=0$ を代入すると $\alpha_m=0$ が得られます。したがって恒等式として $\alpha_1\lambda+\dots+\alpha_m\lambda^m=0$ すなわち $\alpha_1=\dots=\alpha_m=0$ が得られます。以上で $((z_i)^j)$ が正則であると分かりました。


$((\lambda_{k_i})^j),((\lambda_{l_i})^j)$ は共に正則です。したがって $\{a_i\},\{b_i\}$ が存在して

\begin{align}
\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\lambda_{k_i})^j=1,\ \sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\lambda_{l_i})^j=1
\end{align}

とすることができます。これを使うと

\begin{align}
K_0&=c_0+\sum_{i=1}^{\mu_0}c_{k_i}P_{k_i}=c_0+\sum_{i,j=1}^{\mu_0}c_{k_i}a_j(\lambda_{k_i})^jP_{k_i}\\
&=c_0+\sum_{i,j=1}^{\mu_0}c_{k_i}a_jL^jP_{k_i}=c_0+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_0
\end{align}

同様にして

\begin{align}
K_1=\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_1
\end{align}

と変形できます。ここに $L$ はルジャンドル作用素です。今回はここまで。次回は球面ラプラシアンの冪級数の零点の話をします。(written by J.Nishigata)


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ルジャンドル作用素の冪級数による多項式型積分核の表現

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まずは、題目の通り計算してみましょう。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}_Kf=\int_{S_y}K(\langle x,y\rangle)(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega,\ p\in\partial S_y
\end{align}

ここで

\begin{align}
&d(\langle p,x\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^y-\langle x,y\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^p)\\
&=-\langle p,x\rangle\partial K f\omega+K\{-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p\}f\omega
\end{align}

を用いて

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}_Kf&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^y-\langle x,y\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^p+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K f\omega\\
&=K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K f\omega
\end{align}

更に微分して

\begin{align}
\partial_{yp}^2\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega
\end{align}

ここで

\begin{align}
&d(\langle p,x\rangle^2 \partial Kf\omega^y-\langle p,x\rangle\langle x,y\rangle \partial Kf\omega^p)\\
&=-\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega+\langle x,y\rangle\partial Kf\omega+\langle p,x\rangle\partial K(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega
\end{align}

を用いて

\begin{align}
\partial_{yp}^2\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial Kf\omega^y-\langle p,x\rangle\langle x,y\rangle \partial Kf\omega^p+\int_{S_y}\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega-\langle x,y\rangle\partial Kf\omega\\
&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2f\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega-\langle x,y\rangle\partial Kf\omega
\end{align}

$p$ に関して和をとれば

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\int_{S_y}(1-\langle x,y\rangle^2)\partial^2Kf\omega-(n-1)\langle x,y\rangle\partial Kf\omega\\
&=-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{LK}f
\end{align}

一旦これで球面ラプラシアンは計算できました。結果を見るとファンク変換の球面ラプラシアンと球面ラドン変換が混ざってしまっていますね。これが分離できていた方が見通しが良さそうです。球面ラプラシアンの演算前に偶奇を分けてしまいましょう。

\begin{align}
&2\mathscr{K}_K^+f(y)=\mathscr{K}_Kf(y)+\mathscr{K}_Kf(-y),\\
&2\mathscr{K}_K^-f(y)=\mathscr{K}_Kf(y)-\mathscr{K}_Kf(-y)
\end{align}

このように定義すると

\begin{align}
&\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}K_0f\omega+\mathscr{K}_{K_1}^+f,\\
&\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}K_1f\omega+\mathscr{K}_{K_0}^-f
\end{align}

という分かれ方をします。この状態で球面ラプラシアンを計算してみましょう。

\begin{align}
&\Delta^S\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}LK_0f\omega+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{LK_1}^+f,\\
&\Delta^S\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}LK_1f\omega-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{LK_0}^-f
\end{align}

確かに分離できましたね。今回はここまで。次回は剰余項の取り扱いに関して考えます。(written by J.Nishigata)


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