AlxisDataBlog-数学・物理学


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まずは、題目の通り計算してみましょう。

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}_Kf=\int_{S_y}K(\langle x,y\rangle)(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega,\ p\in\partial S_y
\end{align}

ここで

\begin{align}
&d(\langle p,x\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^y-\langle x,y\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^p)\\
&=-\langle p,x\rangle\partial K f\omega+K\{-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p\}f\omega
\end{align}

を用いて

\begin{align}
\partial_{yp}\mathscr{K}_Kf&=\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^y-\langle x,y\rangle K(\langle x,y\rangle)f\omega^p+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K f\omega\\
&=K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle f\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K f\omega
\end{align}

更に微分して

\begin{align}
\partial_{yp}^2\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle\partial K(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega
\end{align}

ここで

\begin{align}
&d(\langle p,x\rangle^2 \partial Kf\omega^y-\langle p,x\rangle\langle x,y\rangle \partial Kf\omega^p)\\
&=-\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega+\langle x,y\rangle\partial Kf\omega+\langle p,x\rangle\partial K(-\langle p,x\rangle\partial_y+\langle x,y\rangle \partial_p)f\omega
\end{align}

を用いて

\begin{align}
\partial_{yp}^2\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial Kf\omega^y-\langle p,x\rangle\langle x,y\rangle \partial Kf\omega^p+\int_{S_y}\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega-\langle x,y\rangle\partial Kf\omega\\
&=-K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2 \partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}\langle p,x\rangle^2f\omega^y+\int_{S_y}\langle p,x\rangle^2\partial^2Kf\omega-\langle x,y\rangle\partial Kf\omega
\end{align}

$p$ に関して和をとれば

\begin{align}
\Delta^S\mathscr{K}_Kf&=-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\int_{S_y}(1-\langle x,y\rangle^2)\partial^2Kf\omega-(n-1)\langle x,y\rangle\partial Kf\omega\\
&=-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{LK}f
\end{align}

一旦これで球面ラプラシアンは計算できました。結果を見るとファンク変換の球面ラプラシアンと球面ラドン変換が混ざってしまっていますね。これが分離できていた方が見通しが良さそうです。球面ラプラシアンの演算前に偶奇を分けてしまいましょう。

\begin{align}
&2\mathscr{K}_K^+f(y)=\mathscr{K}_Kf(y)+\mathscr{K}_Kf(-y),\\
&2\mathscr{K}_K^-f(y)=\mathscr{K}_Kf(y)-\mathscr{K}_Kf(-y)
\end{align}

このように定義すると

\begin{align}
&\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}K_0f\omega+\mathscr{K}_{K_1}^+f,\\
&\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}K_1f\omega+\mathscr{K}_{K_0}^-f
\end{align}

という分かれ方をします。この状態で球面ラプラシアンを計算してみましょう。

\begin{align}
&\Delta^S\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}LK_0f\omega+\partial K(0)\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{LK_1}^+f,\\
&\Delta^S\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}LK_1f\omega-K(0)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{LK_0}^-f
\end{align}

確かに分離できましたね。今回はここまで。次回は剰余項の取り扱いに関して考えます。(written by J.Nishigata)


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半球面一般コサイン変換の球面ラプラシアン

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前回は、半球面一般コサイン変換に球面ラプラシアンの冪級数を掛けて剰余項を消去しました。

\begin{align}
&\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\
&\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+B\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

両方の式共に右辺の第 $1$ 項が邪魔ですね。この項はファンク-ヘッケの定理を使えば簡単に計算できます。まず、演算子の掛かっていない

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}K_1f\omega
\end{align}

にファンク-ヘッケの定理を使いましょう。$j$ 次の球面調和関数に掛かる因子は

\begin{align}
&\sigma_{n-2}\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}K_1P_j\,dt\\
&=\sigma_{n-2}\int_{-1}^1(1-t^2)^{(n-3)/2}\sum_{i=1}^{\mu_1}c_{l_i}P_{l_i}P_j\,dt\\
&=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}\delta_{l_ij}
\end{align}

ですので直交分解された $f$ の像は

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}K_1f\omega=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}f_{l_i}
\end{align}

となります。これに球面ラプラシアンを掛けると

\begin{align}
\int_{S^{n-1}}L^jK_1f\omega=(\Delta^S)^j\int_{S^{n-1}}K_1f\omega=\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}(\lambda_{l_i})^jf_{l_i}
\end{align}

したがって

\begin{align}
&\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega\\
&=-\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}\lambda_{l_i}f_{l_i}+\dfrac{1}{2}\sum_{j=1}^{\mu_0}\sum_{i=1}^{\mu_1}a_j\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}(\lambda_{l_i})^{j+1}f_{l_i}\\
&=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}
\end{align}

もう一方も同様にして

\begin{align}
\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}
\end{align}

今回はここまで。次回は半球面一般コサイン変換の反転公式を考えます。(written by J.Nishigata)


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球面ラプラシアンの冪級数による剰余項の処理