AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回は $1$ 階の球面ラプラシアンのみ計算しました。$2$ 階以上の計算はどうなるでしょうか。取り合えず $2$ 階の場合を計算すると

\begin{align}
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK_1(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK_0(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f
\end{align}

ここで $\partial LK_1(0)=\partial LK(0),LK_0(0)=LK(0)$ なので、置き換えると

\begin{align}
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_0f\omega+\{\partial K(0)\Delta^S+\partial LK(0)\}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^2\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^2K_1f\omega-\{K(0)\Delta^S+LK(0)\}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^2K_0}^-f
\end{align}

これを参考に一般化すると

\begin{align}
&(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_0f\omega+\sum_{i=1}^j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_1}^+f,\\
&(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}L^jK_1f\omega-\sum_{i=1}^jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{L^jK_0}^-f
\end{align}

となりますね。ここで以前やったルジャンドル作用素の冪級数による積分核の表現を思い出しましょう。

\begin{align}
&K_0=c_0+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_0,\\
&K_1=\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_1
\end{align}

これを使えば剰余項がどうにかできそうですね。

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^jK_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y+\mathscr{K}_{K_1}^+f,\\
&\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^j\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^jK_1f\omega-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y+\mathscr{K}_{K_0-c_0}^-f
\end{align}

前者は $K_1=K-K_0$ を右辺の最後の項に使うことで

\begin{align}
\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j\bigg)\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

一方、後者は $K_0=K-K_1$ を右辺の最後の項に使って、全体の球面ラプラシアンを計算することで

\begin{align}
\bigg(-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1}\bigg)\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega-\bigg(-c_0+\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1}\bigg)\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y
\end{align}

これで剰余項が消えました。式を見やすくするために演算子をまとめて

\begin{align}
&\tilde{A}=-\Delta^S+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\Delta^S)^{j+1},\\
&A=c_0-\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_0}a_jL^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i+1},\\
&\tilde{B}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\Delta^S)^j,\\
&B=\sum_{j=1,i\le j}^{\mu_1}b_j\partial L^{i-1}K(0)(\Delta^S)^{j-i}
\end{align}

とおくと

\begin{align}
&\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-L+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_jL^{j+1}\bigg)K_1f\omega+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\
&\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\bigg(-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_jL^j\bigg)K_0f\omega+B\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

となります。今回はここまで。次回は右辺の第 $1$ 項の計算をやります。(written by J.Nishigata)


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球面ラプラシアンの冪級数による剰余項の処理

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前回どこまでやったかというと

\begin{align}
&\tilde{A}\mathscr{K}_K^-f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+A\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y,\\
&\tilde{B}\mathscr{K}_K^+f=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+B\int_{\partial S_y}f\omega^y
\end{align}

という式まで変形してきました。既にファンク変換と半球面コサイン変換はファンク-ヘッケの定理で解析済みですので、右辺の最後の項にファンク-ヘッケの定理を使うことは容易ですね。

\begin{align}
&\int_{\partial S_y}\partial_yf\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_if_i,\\
&\int_{\partial S_y}f\omega^y=\sum_{i=0}^{\infty}\beta_if_i
\end{align}

と書いておきましょう。更にフーリエ級数表示に合わせる意味で $\mathscr{K}_K^-f,\mathscr{K}_K^+f$ も展開しておきます。

\begin{align}
&\mathscr{K}_K^-f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-f_i,\\
&\mathscr{K}_K^+f=\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+f_i
\end{align}

これらの表現で改めて前回の式を書いてみましょう。

\begin{align}
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-E_{\tilde{A}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+E_{\tilde{B}}(\lambda_i)f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i
\end{align}

$E_{\tilde{A}},E_{\tilde{B}}$ は簡単に因数分解できますね。$\tilde{A},\tilde{B}$ の定義から

\begin{align}
&E_{\tilde{A}}=-\lambda+\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j\lambda^{j+1},\\
&E_{\tilde{B}}=-1+\sum_{j=1}^{\mu_1}b_j\lambda^j
\end{align}

ここで $\{a_i\},\{b_i\}$ の定義は

\begin{align}
\sum_{j=1}^{\mu_0}a_j(\lambda_{k_i})^j=1,\ \sum_{j=1}^{\mu_1}b_j(\lambda_{l_i})^j=1
\end{align}

でしたね。したがって

\begin{align}
&E_{\tilde{A}}=a_{\mu_0}\lambda(\lambda-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda-\lambda_{k_{\mu_0}}),\\
&E_{\tilde{B}}=b_{\mu_1}(\lambda-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda-\lambda_{l_{\mu_1}})
\end{align}

が成立します。これを左辺に代入すると

\begin{align}
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^-a_{\mu_0}\lambda_i(\lambda_i-\lambda_{k_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{k_{\mu_0}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_1}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{l_i}}c_{l_i}E_{\tilde{A}}(\lambda_{l_i})f_{l_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_iE_A(\lambda_i)f_i,\\
&\sum_{i=0}^{\infty}m_i^+b_{\mu_1}(\lambda_i-\lambda_{l_1})\cdots(\lambda_i-\lambda_{l_{\mu_1}})f_i=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mu_0}\dfrac{\sigma_{n-1}}{N_{k_i}}c_{k_i}E_{\tilde{B}}(\lambda_{k_i})f_{k_i}+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_iE_B(\lambda_i)f_i
\end{align}

前者の式に関して、左辺の奇数次の球面調和関数 $m_i^-f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で奇数次の $m_i^-$ を求めることができます。後者の式も同様に、左辺の偶数次の球面調和関数 $m_i^+f_i$ の係数は零ではない故に、右辺との係数比較で偶数次の $m_i^+$ を求めることができます。


$\mathscr{K}_Kf=\mathscr{K}_K^-f+\mathscr{K}_K^+f$ なので $\mathscr{K}_Kf$ に関しても分かったことになります。直接的に半球面一般コサイン変換の因子を計算するよりも簡単な計算になっていると思います。今回はここまで。(written by J.Nishigata)


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球面全体に渡る積分値とファンク-ヘッケの定理