AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回の議論から $V$ のポテンシャル $W$ が存在し、前々回の議論から $H^0$ 成分を除いて $W$ は決定します。

\begin{align}
\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}W=\sum_{j=1}^{n-1}u_j\langle u_j,V\rangle=V
\end{align}

これで $V$ が計算できました。$3$ つ目の漸化式を用いれば $\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算できるということですね。


$2$ つ目の漸化式は使わずじまいでしたが、これは別途考えることにしましょう。


さて、漸化式を辿ると $\mathscr{V}_if,\mathscr{S}_if$ のインデックスは $2,4,6,\ldots$ のように偶数を辿ることが分かります。したがって、最終項の扱いは $n$ の偶奇により異なります。まずは奇数の場合から考えましょう。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_{n-1}f\mapsto\mathscr{V}_{n-1}f
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_{n-1}f,\mathscr{V}_{n-1}f$ ですね。$1$ つ目の漸化式は $i < n-1$ を条件に途中の計算を実行しましたが、$i=n-1$ の場合はどうなるのでしょうか。

\begin{align}
&\dfrac{1}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}\\
&\quad-\dfrac{r}{2}\bigg\{\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_{n-1}f(r,-q,z+2rq)\rangle\bigg\}+\mathscr{S}_{n-1}f(r,q,z)\\
&=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\cos\varphi(\sin\varphi\partial_q-\cos\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi+\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin\varphi f\omega^q\bigg\}\, d\varphi\\
&=-\bigg[\int_{\partial S_q}\cos\varphi f\omega^q\bigg]_0^{\pi}\\
&=\int_{\partial S_q}\{f(z)+f(2rq+z)\}\omega^q\\
&=\sigma_{n-2}\{f(z)+f(2rq+z)\}
\end{align}

非常にシンプルな式になりました。この式を

\begin{align}
2f(z)=\{f(z)+f(2rq+z)\}-\{f(z+2rq)+f(z+rq+\sqrt{3}ru)\}+\{f(z+rq+\sqrt{3}ru)+f(z)\}
\end{align}

の右辺に使えば $f(z)$ が求まります。以上で、$n$ が奇数の場合の $\mathscr{S}_2$ の反転公式が構築できました。


では、$n$ が偶数の場合はどうなるでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{S}_2f\mapsto\mathscr{V}_2f\mapsto\mathscr{S}_4f\mapsto\cdots\mapsto\mathscr{S}_nf\mapsto\mathscr{V}_nf
\end{align}

最終稿は $\mathscr{S}_nf,\mathscr{V}_nf$ ですね。最初に注意していた通り、$\mathscr{V}_nf$ は変数 $\varphi$ に関して円周上のヒルベルト変換になっていますね。なお、$H^0$ 成分は $\mathscr{S}_nf$ から計算できます。これですべての場合の反転公式が完成しました。


今回はここまで。次回は、$2$ つ目の漸化式に関して少し考えてみましょう。(written by J.Nishigata)


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球面の族に関する積分変換と球面上の積分変換の関係その２

AlxisDataBlog-画像処理


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本来の説明の順序では、ブラインド-デコンボリューションの説明をしてから製品の話題に移行する予定でした。順序が前後する箇所は予習だと思って読み替えてください。今回から複数回に渡りプロダクトの話をします。


これまで様々な独自技術について説明してきました。その中でもデコンボリューション関連の技術とプロダクトの紐付けをやっておこうと思います。


最初に登場した独自デコンボリューションは、ノンブラインド-デコンボリューションでした。これに紐付く製品は「Discovery Replacement for Unsharp-Mask」です。ノンブラインド-デコンボリューションは PSF を仮定的に固定して使うため、実際の PSF と比較するとズレています。そのため効果はデコンボリューションとアンシャープマスクの中間的なものになります。


続いて登場したのはブラインド-デコンボリューションでした。幾つかの課題に分けて説明していきましたね。独自ブラインド-デコンボリューションは総じて「RING」と製品名が接頭に付きます。RING は Restoration with Integral Geometry の略称です。


PSF の形状に関するブラインド-デコンボリューションに紐付く製品は「RING1 High-Speed」です。この製品ではコスト関数の領域 $\Omega$ を画像全体若しくは任意の点の近傍で指定することができます。


PSF の形状だけでなく径に関しても未知としたブラインド-デコンボリューションに紐付く製品は「RING2 Auto Calibration」です。


画像をタイリングして各タイルに対してコスト関数を計算するという、RING1 High-Speed を改良した製品は「RING3 Dynamics」です。


タイリングによる改良を RING2 Auto Calibration に実施した製品は「RING4 Full-Focus」です。


前々回紹介した、デコンボリューションと圧縮技術を両立させるための前半部分すなわちラプラシアンの冪級数部分を製品化したものは「RING Codec」です。


ノイズ対策、アーチファクト対策、画素補間との組み合わせ等は全ての RING 製品に共通して実装されています。我々が現在提供しているデコンボリューション関連のプロダクトは以上です。我々の製品は従来のデコンボリューションの抱える数多くの課題を鮮やかに解決した実用性の高いものになっています。なお、ユーザにとっては残念かもしれませんが、遮断周波数による分解能の課題を解決したブラインド-デコンボリューションは、極一部の共同研究用途以外には提供していません。


ただし、仮の製品名は有るので紹介しておきましょう。「RING5 Ultimate」が遮断周波数の問題を解決したデコンボリューションです。RNG5 Ultimate が製品化された際は是非ラディカルイノベーションの効果を体験していただければと思います。


今回紹介した技術以外にも独自の技術は多数あります。これらに関しては現状の製品化予定はありませんが共同開発という名目で組み込んでいくことが可能です。(written by J.Nishigata)


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2 つ目の漸化式の使いどころ