AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






結局 $2$ つ目の漸化式を使うことなく反転公式が構築できてしまいました。$2$ つ目の漸化式はどんなものであったのか復習すると

\begin{align}
\dfrac{n-2}{r}\mathscr{V}_if+\partial_r\mathscr{V}_if=-\dfrac{1}{r}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

でしたね。今回は、別解を考えるという意味で、この漸化式の使い道を考えてみます。まず、両辺に $r^{n-2}$ を掛けてみましょう。

\begin{align}
(n-2)r^{n-3}\mathscr{V}_if+r^{n-2}\partial_r\mathscr{V}_if=-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if
\end{align}

左辺は積分したら簡単になりますね。今までの議論では、変数 $r$ に関して、与えられた $r$ での導関数のみ許可されていたのですが、この条件を弱くすれば積分ができます。

\begin{align}
r_2^{n-2}\mathscr{V}_if(r_2,q,z)-r_1^{n-2}\mathscr{V}_if(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

$n > 2$ の場合は、存在するか否かは別問題として

\begin{align}
\mathscr{V}_if(\infty,q,z)=\int_{r_1}^{\infty}\bigg(-r^{n-3}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{qu_j}\mathscr{S}_if+2r^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}u_j\partial_{u_j}\mathscr{S}_if\bigg)\,dr
\end{align}

が極限で得られます。$f$ に課される条件が強すぎるため、面白くありません。$n=2$ の場合はどうでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{V}_2f(r_2,q,z)-\mathscr{V}_2f(r_1,q,z)=\int_{r_1}^{r_2}\bigg(-\dfrac{1}{r}u\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2u\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr
\end{align}

$3$ つ目の漸化式も書くと

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\langle u,\partial_{qu}\mathscr{V}_2f\rangle=\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f
\end{align}

こちらも $q$ に関して積分して

\begin{align}
\dfrac{1}{r}\{\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle-\langle e_2,\mathscr{V}_2f(r,e_1,z)\rangle\}=\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f-2\partial_q\mathscr{S}_2f\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

以上の $2$ つの式を連立すれば

\begin{align}
\langle R_{\pi/2}q,\mathscr{V}_2f(r,q,z)\rangle=P(z)+\int_{r_1}^{r}\bigg(-\dfrac{1}{r}\partial_{qu}\mathscr{S}_2f+2\partial_{u}\mathscr{S}_2f\bigg)\,dr+r\int_{e_1}^q\{\partial_r\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)-2\partial_q\mathscr{S}_2f(r_1,q,z)\}\,\langle R_{\pi/2}q,dq\rangle
\end{align}

ここに $P(z)=\langle R_{\pi/2}e_1,\mathscr{V}_2f(r_1,e_1,z)\rangle$ です。$\mathscr{V}_2f$ が $P(z)$ の不定性を除いて定まりました。後は $P(z)$ を求めるだけですが、これは簡単で $q$ に関して $1$ 周積分すれば良いです。今回はここまで。次回以降、2週間弱休載(プロダクトの話題を別途掲載)したのち、しばらくの間はブレイクタイムとして雑記を投稿していきます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

2 つ目の漸化式の使いどころ

AlxisDataBlog-画像処理


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回は RING のバージョンの話をしましたが、今回は提供形態の話をします。利用シーンを想定して $4$ つの提供形態を用意しています。


$1$ つ目の提供形態はデスクトップアプリケーションです。インターネット環境は不要ですのでセキュリティの高い環境でも安心して利用できます。この提供形態ではインターフェース(I/O と UI)が限定的ですので、効果検証というステージで利用されることを想定しています。


$2$ つ目の提供形態はブラウザベースの web アプリケーションとして動作するクラウドサービスです。ネットワーク環境に依存する部分はありますが、分散ストレージや NFT 等のブロックチェーンを利用した web3.0 的な付加価値の高いサービスになっています。


$3$ つ目の提供形態は C/C++ 用の開発ライブラリです。本製品を使えば、自由に RING の機能を追加させることが可能です。開発ステージや製品製造ステージでの利用を想定しています。


最後に $4$ つ目の提供形態は配布ライブラリです。開発ライブラリで組み込まれた製品を販売する場合には、この配布ライブラリを使います。


すべての製品に共通で、ライセンスの種類は永久ライセンスとなっていますので、追加料金を発生させることなく使い続けることができます。また、1 か月間限定で無償利用できるトライアルライセンスも各種用意していますので気兼ねなくお申し込みください。次回から数回に掛けてデスクトップアプリケーションの使い方レクチャーをやります。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

研究テーマで説明するプロダクト紹介