AlxisDataBlog-数学・物理学


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ノンブラインド-デコンボリューションのときも不良設定の話題は登場しましたが、ブラインド-デコンボリューションは更に困難な不良設定性をもちます。単純に考えれば、未知数の個数に対して方程式の本数が足りないから自明ですね。


被写体と PSF の関数値は零以上でなければならないという評価式を追加すると多少改善されますが、やはりなお不良設定性は残ります。例えば、零以上の値をとる関数 $a,b:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ に対して $a\ast b$ のブラインド-デコンボリューションを考えてみましょう。

\begin{align}
k\ast f=a\ast b
\end{align}

少なくとも $(k,f)=(\delta,a\ast b),(a,b),(b,a),(a\ast b,\delta)$ の $4$ つは零以上という条件を満足する解になります。解を絞り込んでいくためには、零以上という条件よりも強い条件を課す必要があります。次回は代表的なブラインド-デコンボリューションを例に挙げて対処法を見ていきましょう。(written by J.Nishigata)


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ブラインド-デコンボリューションの不良設定性

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前回に引き続き、今回も従来技術を紹介していきます。今回紹介するデコンボリューションは、リチャードソン ルーシー デコンボリューション(以下、RL デコンボリューションという)です。


RL デコンボリューションはノンブラインド-デコンボリューションとして紹介されることが多いですが、少し工夫すればブラインド-デコンボリューションとして機能させることもできます。Wikipedia を参照していただければ良いのですが、最終的な反復の式を書いておくと

\begin{align}
f_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)k(y-x)f_i(x)}{(k\ast f_i)(y)}\,dy
\end{align}

右辺の $g(y)$ に掛かっている項がベイズ定理で説明されている部分です。これがノンブラインド-デコンボリューションとして説明される RL デコンボリューションですね。推定画像と PSF の立場を入れ替えれば、PSF を推定する反復式も得られます。

\begin{align}
&f_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)k_i(y-x)f_i(x)}{(k_i\ast f_i)(y)}\,dy,\\
&k_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)f_i(y-x)k_i(x)}{(k_i\ast f_i)(y)}\,dy
\end{align}

RL デコンボリューションの参考文献は膨大ですので、周辺技術や発展も含めて勉強してみるのも良いかもしれません。次回は、独自のブラインド-デコンボリューションの開発方針を検討してみたいと思います。(written by J.Nishigata)


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従来のブラインド-デコンボリューションについて、その１