AlxisDataBlog-数学・物理学


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既にデコンボリューションの課題に関しては幾つか取り上げていますね。ここでは復習も兼ねてリスト化しておこうと思います。


課題01: PSF が未知な場合の対処法


以前説明した独自のデコンボリューションは、ノンブラインド-デコンボリューションでした。このままでは実用的ではないので、ブラインド-デコンボリューションへ変形する必要があります。一般的に、PSF の情報の有無は問題を本質的に変えてしまうため、新しいアイデアが必要になるでしょう。


課題02: 観測窓による STFT 不確定性が引き起こすアーチファクトの回避


無限遠を境界条件として使えないような広い関数のクラスでデコンボリューションを構築できれば、観測窓の影響は回避できますね。これはポンペイユ逆問題の節で説明した通りです。


課題03: 白飛び近傍で生じるアーチファクトの回避
課題04: スペクトル空間上の不連続点で生じるアーチファクトの回避


デコンボリューションでアーチファクトが発生する原因は以上の 3 つです。白飛び個所は畳込みモデルでは記述できないのでアーチファクトが発生するわけです。一方、スペクトル空間上の不連続点とは遮断周波数のことですね。遮断周波数の外側は計算できないので発生します。


課題05:ノイズの著しい増加の回避


デコンボリューションはコンボリューションの逆の操作です。コンボリューションは、例えばガウシアンブラーがノイズリダクションとして使われるようにノイズを低下させます。したがって逆の操作であるデコンボリューションはノイズを増加させてしまいます。


課題06: 計算量の圧縮


何度も説明している通り、ブラインド-デコンボリューションの計算量は極めて大きいため、実用化に当たり圧縮する必要があります。


課題07: 遮断周波数で決まる分解能の限界の回避


有限開口で決まってしまう理論物理学的な限界なので打つ手無しのように思われますが、どうなるでしょうか。課題を一通り紹介しましたが、読者の皆さんは解決できるでしょうか。次回から、最初の課題、ブラインド-デコンボリューションの話をしていこうと思います。(written by J.Nishigata)


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デコンボリューションの課題

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ブラインド-デコンボリューションの研究は 1970 年前後から行なわれていますので、これまで多くのアルゴリズムが報告されています。ここでは皆さんがご存じであろう有名なものを扱いたいと思います。


Ayers Dainty デコンボリューション(以下、AD デコンボリューションという)を紹介しましょう。多くのブラインド-デコンボリューションはニュートン法のような反復処理により解を求めるという方針をとります。AD デコンボリューションも例外に漏れず反復処理によるデコンボリューションです。


まず、反復処理の初期値として、初期の推定画像と推定 PSF を定義します。一般的には光学像 $g$ を初期の推定画像 $f_0$、規格化された非負のランダムな分布関数を初期の PSF $k_0$ として採用します。


$k_0$ のブラーが掛かっているとして被写体を計算してみましょう。

\begin{align}
f^0=\mathscr{F}^{-1}[\mathscr{F}g/\mathscr{F}k_0]
\end{align}

$f^0$ に対してコストを定義します。$f^0$ のとる値の中で負の値の総和を計算して、その絶対値をコスト $E_0$ としましょう。関数 $f^0$ の負のピクセルを零埋めした関数を $\tilde{f}^0$ とおき

\begin{align}
f^1=\tilde{f}^0-\dfrac{E_0}{N}
\end{align}

のように新しい関数 $f^1$ を定義します。ここに $N$ は全体の画素数を意味します。$f^0,f^1$ を比較してみましょう。画素値の総和は互いに一致しますね。一方、$f^1$ に対しても $f^0$ と同様にコスト $E_1$ を定義してみると、$E_0 \ge E_1$ が成り立ちます。


$f^0\mapsto f^1$ の手順を繰り返すことにより $f^0\mapsto f^1\mapsto f^2\mapsto\cdots$ という関数列とそれぞれのコスト $E_0,E_1,E_2,\ldots$ という数列が得られます。コストに閾値を設定して、初めて閾値を下回ったときの関数 $f^i$ を推定画像の更新値 $f_1$ として採用します。


$f_1$ から PSF を計算してみましょう。

\begin{align}
k^0=\mathscr{F}^{-1}[\mathscr{F}g/\mathscr{F}f_1]
\end{align}

$k^0$ に対しても $f^0$ のときと同じ一連の処理を実行して PSF の推定値を更新します。以上で $(k_0,f_0)\mapsto(k_1,f_1)$ という $1$ 回目の反復処理が完了します。これを何度も繰り返していくアルゴリズムが AD デコンボリューションです。


なお、繰り返し回数は PSF 側のコストをモニタリングして決めるようです。今回はここまで。次回も従来技術の紹介です。(written by J.Nishigata)


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ブラインド-デコンボリューションの不良設定性