AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回に引き続き、今回も従来技術を紹介していきます。今回紹介するデコンボリューションは、リチャードソン ルーシー デコンボリューション(以下、RL デコンボリューションという)です。


RL デコンボリューションはノンブラインド-デコンボリューションとして紹介されることが多いですが、少し工夫すればブラインド-デコンボリューションとして機能させることもできます。Wikipedia を参照していただければ良いのですが、最終的な反復の式を書いておくと

\begin{align}
f_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)k(y-x)f_i(x)}{(k\ast f_i)(y)}\,dy
\end{align}

右辺の $g(y)$ に掛かっている項がベイズ定理で説明されている部分です。これがノンブラインド-デコンボリューションとして説明される RL デコンボリューションですね。推定画像と PSF の立場を入れ替えれば、PSF を推定する反復式も得られます。

\begin{align}
&f_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)k_i(y-x)f_i(x)}{(k_i\ast f_i)(y)}\,dy,\\
&k_{i+1}(x)=\int_{\mathbb{R^2}}\dfrac{g(y)f_i(y-x)k_i(x)}{(k_i\ast f_i)(y)}\,dy
\end{align}

RL デコンボリューションの参考文献は膨大ですので、周辺技術や発展も含めて勉強してみるのも良いかもしれません。次回は、独自のブラインド-デコンボリューションの開発方針を検討してみたいと思います。(written by J.Nishigata)


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従来のブラインド-デコンボリューションについて、その２

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既にノンブラインド-デコンボリューションとして $\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ という手順を説明しましたね。ブラインド-デコンボリューションの設計も $\{\psi,\partial_r\psi\}$ を途中に挟むという方針をとりたいと思います。


$\langle 1\rangle_k$ を $\{\psi,\partial_r\psi\}$ へ変換した時点で $k$ が未知であるという問題は解消されるので、前半だけ考えればよいです。


さて、以前説明したフレーム内処理のノンブラインド-デコンボリューションを思い出しましょう。$\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}$ の変換はラプラシアンの冪級数で実行しました。そのとき用いたコスト関数は、剰余項の絶対値をコーシーの不等式で評価して得られた

\begin{align}
\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

でしたね。このコスト関数値を最小にするようにラプラシアンの冪級数の係数が決まるのでした。今回もこのようなことをやりたいのですが、残念ながら上記コスト関数には未知の関数 $k$ が含まれてしまっていますので、今回は使えません。次回、解決策を論じます。(written by J.Nishigata)


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