AlxisDataBlog-数学・物理学


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タイトルだけ見ると少し大げさかもしれませんが、簡単に言ってしまえば PSF のパラメトライズの話です。以前ノンブラインド-デコンボリューションの話をしたとき、PSF は以下のように定義しました。


i). $k\big|[0,1]$ は滑らかな関数。
ii). $k\big|(1,\infty)=0$。


このような関数 $k:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ を使って

\begin{align}
K(x)=\dfrac{k(\|x\|/r)}{r^2}
\end{align}

PSF は $k$ と $r$ でパラメトライズされていますね。未知の PSF といった場合、$k,r$ を切り分けずに議論していくことは困難なので、パラメタ $k$ に関するブラインド-デコンボリューション、パラメタ $r$ に関するブラインド-デコンボリューションのように部分的に課題を解決していこうと思います。


次回からしばらくの間は、$r$ は既知であるとして議論していくことにします。(written by J.Nishigata)


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未知の PSF の分類

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ノンブラインド-デコンボリューションでは剰余項を見れば環状項の近似の様子が分かったのですが、ブラインド-デコンボリューションでは剰余項を見ることができないという話でした。解決策として環状項が満たす方程式を考えてみたいと思います。

\begin{align}
\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta=0
\end{align}

これを環状項の近似の様子を見るために使えないでしょうか。

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}a(x+e(\theta))\,d\theta=\int_0^{2\pi}b(x+e(\theta))\,d\theta
\end{align}

を満たすような $a,b:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ はどのような関数でしょうか。左辺にストークスの公式を使えばポアソン方程式に変形できますね。

\begin{align}
\Delta\int_{U_1(x)}a\,dx=\int_0^{2\pi}b(x+e(\theta))\,d\theta
\end{align}

ポアソン方程式の解には調和関数分の不定性がありますが、この不定性は同値類として扱っていっても問題は生じません。(気になる方は確認してみてください)


円板定義関数のデコンボリューションに帰着しました。$b$ の任意性と円板定義関数のフーリエ像の零点という $2$ つの問題を抱えていることが分かります。このままでは使えなさそうに思われがちですが、$\langle 1\rangle_k$ のラプラシアン像という前提条件を考慮してみると意外と上手く解を選択してくれます。


今回はここまで。次回はコスト関数を定義します。(written by J.Nishigata)


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環状項を経由するブラインド-デコンボリューション