AlxisDataBlog-数学・物理学


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既にノンブラインド-デコンボリューションとして $\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ という手順を説明しましたね。ブラインド-デコンボリューションの設計も $\{\psi,\partial_r\psi\}$ を途中に挟むという方針をとりたいと思います。


$\langle 1\rangle_k$ を $\{\psi,\partial_r\psi\}$ へ変換した時点で $k$ が未知であるという問題は解消されるので、前半だけ考えればよいです。


さて、以前説明したフレーム内処理のノンブラインド-デコンボリューションを思い出しましょう。$\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}$ の変換はラプラシアンの冪級数で実行しました。そのとき用いたコスト関数は、剰余項の絶対値をコーシーの不等式で評価して得られた

\begin{align}
\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

でしたね。このコスト関数値を最小にするようにラプラシアンの冪級数の係数が決まるのでした。今回もこのようなことをやりたいのですが、残念ながら上記コスト関数には未知の関数 $k$ が含まれてしまっていますので、今回は使えません。次回、解決策を論じます。(written by J.Nishigata)


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環状項を経由するブラインド-デコンボリューション

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まず、環状項をラプラシアンの冪級数でパラメトライズしておきます。

\begin{align}
&\psi=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k,\\
&r\partial_r\psi=\sum_{i=1}^{\infty}\beta^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k
\end{align}

コスト関数は前回登場した

\begin{align}
\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

の自乗平均を使います。

\begin{align}
E=\dfrac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dz
\end{align}

平均処理をする理由は、$1$ 点のみでの係数の算出では統計的な誤差が乗ってしまうからです。画像全体でひと組の係数を求めたい場合は $\Omega$ を画像全体に設定すれば良いでしょう。


コスト関数 $E$ の最小値問題を解くことにより $\alpha,\beta$ が得られ、環状項を計算することができるようになります。以上で最初の課題「PSF が未知な場合の対処法」は解決しました。(written by J.Nishigata)


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環状項が満足する方程式