AlxisDataBlog-数学・物理学


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引き続き独自のブラインド-デコンボリューションの話をしていきます。コスト関数の極値問題から得られる係数を代入して $\langle 1\rangle_k\mapsto\{\psi,\partial_r\psi\}$ が計算され、ヒルベルト変換により $\{\psi,\partial_r\psi\}\mapsto f$ が計算されます。それぞれの演算は FIR で表現できるので、これらを畳込んで合成したフィルタも FIR になります。この最終的な FIR のフィルタサイズは、ラプラシアンの冪級数での膨張分とヒルベルト変換分の和、すなわち目視で決まる径 $r$ 強となります。


このサイズが要因となり、実像から $r$ 強の位置にアーチファクトが発生します。このアーチファクトは遮断周波数で発生するアーチファクトを回避するためにトレードオフで発生していると考えることができます。


このアーチファクトを消すためにはどのようにすれば良いでしょうか。


$r$ に関する平均処理ができれば、アーチファクト部分はブラーが掛かったように目立たなくなります。$r$ は冪級数の次数で変化させることができるので、幾つかの冪数に渡りデコンボリューション結果若しくはフィルタを平均処理すれば $r$ に関する平均処理が達成できます。


以前、冪数の上限は決まっていると説明しました。したがって、どのような冪数をサンプリングするか迷ってしまうかもしれません。概ねの傾向としては、冪数とデコンボリューションの効果には相関があると考えれば良いです。


このような説明をすると、アーチファクトは平均化され目立たなくなっても、トレードオフで分解能も悪くなるのではないかと心配されるかもしれません。しかし、或るレベル以上の冪数であれば、殆ど分解能に悪影響はないのでご安心ください。


以上により、分解能へのデコンボリューションの効果を維持した状態でアーチファクトのみを低下させることができます。不思議に思われるかもしれませんが、アーチファクトの総和という視点では変わっていないので不可解な話ではありません。


アーチファクトの平均をノイズレベルまで下げてしまえば、実用上遮断周波数で発生するアーチファクトは回避されたことになります。(written by J.Nishigata)


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遮断周波数で発生するアーチファクトの回避

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今回の内容は、デコンボリューションの課題通りの内容ではなく、白飛びしている画素値を正しくデコンボリューションするという内容です。今、上半平面 $x^2 > 0$ だけが白飛びしているとしましょう。この状況で境界 $x^2=0$ 近傍のデコンボリューションを考えてみましょう。


デコンボリューションに用いる FIR フィルタの半径を $r$ とします。$x^2\le -r$ の領域のデコンボリューションは、フィルタが正常な画素値の領域 $x^2\le 0$ に収まるため問題なく実行できます。


フィルタの $5$ 割未満が白飛び領域にはみ出してしまう $-r < x^2 \le 0$ の領域はどうなるでしょうか。このような領域では正常にフィルタリングできる部分はそのまま計算して白飛び領域でのフィルタリングは無視する、すなわち零埋めすればデコンボリューションは上手く実行されます。


さて、興味深いことはフィルタの何割が正常な画素値で計算できれば上手くいくのかということです。実は $x^2 < r$ まで、すなわちギリギリのところまでデコンボリューションの結果はしっかりと出ます。


この性質を使えば、例えば白飛び領域 $\Omega$ の任意の内点の $r$-近傍が $\Omega$ の補集合と交わるならば、デコンボリューションにより白飛び領域を解消することもできますね。


更にこの性質は、白飛び領域だけでなく観測窓の境界近傍にも利用することができます。画サイズよりも幅 $r$ 分だけ広く解像できるということは面白いですね。


なお、本来の課題であったアーチファクトに関しては、白飛び領域を含まないようにコスト関数の平均処理を実行してフィルタを算出して今回の方法とアーチファクトを平均化する方法を併用すれば解決できます。


今回はここまで。残る課題は、分解能の限界の課題だけになりました。この問題に挑む前に、やり残した問題を解決しておきます。(written by J.Nishigata)


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デコンボリューションによるノイズの増加に関して