AlxisDataBlog-数学・物理学


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今回の内容は、デコンボリューションの課題通りの内容ではなく、白飛びしている画素値を正しくデコンボリューションするという内容です。今、上半平面 $x^2 > 0$ だけが白飛びしているとしましょう。この状況で境界 $x^2=0$ 近傍のデコンボリューションを考えてみましょう。


デコンボリューションに用いる FIR フィルタの半径を $r$ とします。$x^2\le -r$ の領域のデコンボリューションは、フィルタが正常な画素値の領域 $x^2\le 0$ に収まるため問題なく実行できます。


フィルタの $5$ 割未満が白飛び領域にはみ出してしまう $-r < x^2 \le 0$ の領域はどうなるでしょうか。このような領域では正常にフィルタリングできる部分はそのまま計算して白飛び領域でのフィルタリングは無視する、すなわち零埋めすればデコンボリューションは上手く実行されます。


さて、興味深いことはフィルタの何割が正常な画素値で計算できれば上手くいくのかということです。実は $x^2 < r$ まで、すなわちギリギリのところまでデコンボリューションの結果はしっかりと出ます。


この性質を使えば、例えば白飛び領域 $\Omega$ の任意の内点の $r$-近傍が $\Omega$ の補集合と交わるならば、デコンボリューションにより白飛び領域を解消することもできますね。


更にこの性質は、白飛び領域だけでなく観測窓の境界近傍にも利用することができます。画サイズよりも幅 $r$ 分だけ広く解像できるということは面白いですね。


なお、本来の課題であったアーチファクトに関しては、白飛び領域を含まないようにコスト関数の平均処理を実行してフィルタを算出して今回の方法とアーチファクトを平均化する方法を併用すれば解決できます。


今回はここまで。残る課題は、分解能の限界の課題だけになりました。この問題に挑む前に、やり残した問題を解決しておきます。(written by J.Nishigata)


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白飛び画素値の解析

AlxisDataBlog-画像処理


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或る周波数を超える OTF の成分が消えていることが遮断周波数の問題でしたね。このような消えてしまった高周波成分を、物理学的な意味で回復させる技術は画像処理分野では今のところ存在しません。


遮断周波数の問題と聞いて頭に思い浮かぶ高周波の意味は、被写体のもつ高周波という物理学的な意味でしょう。このような考え方がある一方で、画像処理の分野ではテクスチャの構造をそれっぽく補間するという意味で高周波成分を考えることもあります。


今回は、後者の意味で知られている技術、非線形画像処理のひとつを紹介します。が、その前に線形画像処理の説明をしておきましょう。線形画像処理とは、入力画像 $u,v$ 及び実数 $\alpha,\beta$ に対して

\begin{align}
\Psi(\alpha u+\beta v)=\alpha\Psi(u)+\beta\Psi(v)
\end{align}

が成立する画像処理 $\Psi$ のこと、すなわち線形写像と同じ定義ですね。例えばカーネルが固定された畳込み処理も線形画像処理のひとつです。この公理を満足しない画像処理を総じて非線形画像処理と呼びます。


では早速、非線形画像処理の中でも簡単なものを紹介しようと思います。ベースとなる処理はアンシャープ-マスクです。

\begin{align}
h=g+(g-k\ast g)
\end{align}

アンシャープ-マスクは、入力画像 $g$ に対して平均からの乖離 $g-k\ast g$ すなわち高周波成分を加算するアルゴリズムです。アンシャープ-マスクは線形画像処理ですが、加算する項を冪乗すれば非線形画像処理になります。

\begin{align}
h=g+\alpha (g-k\ast g)^{\beta},\ \beta\neq 1
\end{align}

グラフからわかるように、遮断周波数を超える周波数成分が持ち上がっていますね。再三の注意になりますが、この高周波成分には物理学的な意味はありません。(written by J.Nishigata)

PSF 径に関するブラインド-デコンボリューション