AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回、キルヒホッフの境界条件を導きました。今回はこの条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算してみたいと思います。

\begin{align}
4\pi u(X)&=-\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS\\
&=-\int_D(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

開口に印加される平面波を $u=u_0e^{i(k\langle -n,x\rangle-\omega t)}$ としましょう。開口上では $\partial_nu=-iku$ が成立するので、これを代入して

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du(\partial_nv+ikv)\,dS
\end{align}

更に $v$ に球面波 $e^{i\pi k\|x-X\|}/\|x-X\|$ を代入して

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du\bigg\{\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+ik\bigg)+ik\bigg\}\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

と式変形しておきます。これ以上に式を簡単にしていくためには、以下のような近似をします。

\begin{align}
\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\approx 1
\end{align}

この近似は、近軸近似と呼ばれています。

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+2ik\bigg)\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

この式の括弧の中身は $1/\|x-X\|$ と $2ik$ のどちらが支配的でしょうか。$k=2\pi/\lambda$ ですので $k$ は非常に大きな値をとります。したがって $2ik$ の方が支配的であると考えても良いでしょう。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

開口から発生する球面波を重ね合わせれば良いことが分かりますね。今回はここまで。次回は右辺の積分の中身を更に計算していくための近似を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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キルヒホッフの回折モデルで計算してみよう

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前回は開口への垂直な平面波の印加による複素振幅をフラウンホーファー近似で計算しました。そもそもフラウンホーファー近似が成り立つためには、開口サイズに対して $r_0$ が充分大きくなければなりません。そこで今回は、開口にコンデンサレンズを取り付けてこの問題の改善を試みましょう。


コンデンサレンズの機能に関しては以前幾何光学の説明でやりました。

\begin{align}
\tau(p,q)=\dfrac{f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}}{c}
\end{align}

という分布の遅延が生じます。これをキルヒホッフの回折モデルの式に適用すると

\begin{align}
u&=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}e^{i\omega\tau}\,dS\\
&=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik(\|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2})}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

コンデンサレンズの焦点近傍では、開口サイズに対して焦点距離は充分大きくはないため、$\|x-X\|$ の近似は $1$ 次ではだめです。しかし近似を $2$ 次までとれば $-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}$ が相殺してくれそうですね。実際に近似計算をやっていきましょう。

\begin{align}
\|x-X\|=\|x_0-X+pe_1+qe_2\|
\end{align}

ここで $x_0-X$ を $n,e_1,e_2$ で直交分解します。

\begin{align}
\|x-X\|&=\|\langle x_0-X,n\rangle n+\langle x_0-X,e_1\rangle e_1+\langle x_0-X,e_2\rangle e_2+pe_1+qe_2\|\\
&=\sqrt{\langle x_0-X,n\rangle^2+(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2}
\end{align}

点 $X$ から開口までの距離を焦点距離として、近軸近似の精度が $p,q$ と同程度であれば

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2
\end{align}

という $2$ 次の近似ができます。これをフレネルの近似と呼びます。レンズによる遅延を考慮して

\begin{align}
\|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}&\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2-\dfrac{1}{2f_0}p^2-\dfrac{1}{2f_0}q^2\\
&=f_0+Pp+Qq+\dfrac{f_0}{2}(P^2+Q^2)
\end{align}

ここで

\begin{align}
P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{f_0},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{f_0}
\end{align}

確かに $p,q$ の $2$ 次の項が消えました。したがってキルヒホッフの積分定理を計算すると $A=f_0+f_0(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align}
u(X)&=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\int_{D}ue^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS\\
&=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

コンデンサレンズを使えば充分に離れていなくても焦点距離の位置でフラウンホーファーのときと同じ式が得られます。今回はここまで。次回はフレネルのモデルのままで、印加する平面波の角度を付けて計算してみます。(written by J.Nishigata)


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