AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回はキルヒホッフの境界条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算していきました。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

今回は右辺の計算を進めていきます。そこで、まずは前回の近軸近似を振り返ってみましょう。

\begin{align}
\|x-X\|\approx \langle n,x-X\rangle
\end{align}

右辺は点 $X$ と開口間の距離ですので、$x$ に依存しません。この式をそのままキルヒホッフの積分定理に代入したらどのようになるでしょうか。被積分関数の冪数には非常に大きな数 $k$ が掛かっているため、正しい計算とは言えません。


$\|x-X\|$ の近似を零次だけでなく $1$ 次まで採用してみましょう。正規直交基底 $\{n,e_1,e_2\}$ を用いて

\begin{align}
x=x_0+pe_1+qe_2
\end{align}

とおいて $x=x_0$ の周りで $\|x-X\|$ を $p,q$ の一次関数として近似してみます。

\begin{align}
\|x-X\|&=\|x_0-X+pe_1+qe_2\|\\
&=\sqrt{\|x_0-X\|^2+2\langle x_0-X,e_1\rangle p+2\langle x_0-X,e_2\rangle q+p^2+q^2}\\
&\approx \|x_0-X\|+\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|}p+\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|}q
\end{align}

この近似をフラウンホーファー近似と呼びます。これをキルヒホッフの積分定理に代入してみましょう。式を簡単にするために

\begin{align}
r_0=\|x_0-X\|,\ P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|}
\end{align}

とおいて

\begin{align}
u(X)&=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik(Pp+Qq)}}{r_0}\bigg(1+\dfrac{Pp}{r_0}+\dfrac{Qq}{r_0}\bigg)^{-1}\,dS\\
&\approx -\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\int_Due^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS
\end{align}

非常にシンプルな式になりました。右辺は見覚えのある形でしょう。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

開口関数 $u$ の逆フーリエ像が計算できれば $X$ での複素振幅 $u(X)$ を得ることができます。今回はここまで。次回はコンデンサレンズを用いた回折の話をします。(written by J.Nishigata)


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フラウンホーファー近似

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前回から引き続きレンズの性質を波動光学の視点で計算していきます。幾何光学のときと違い、途中の計算過程は難しいですが、最終的な結論は開口関数の逆フーリエ像になっていたりなど幾何光学に劣らず簡潔です。


今回は表題にある通り角度を付けて平面波を印加してみます。前回と同様にキルヒホッフの境界条件を仮定しますが、厳密には入射角の評価が必要です。ですが、今回は計算を簡単にするために、境界条件の再考察は省略しましょう。


波数ベクトルを $k$ とおくと、開口上では $\partial_nu=i\langle n,k\rangle u$ が成立します。この修正点だけ注意して計算すると、レンズの無い状態では

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\int_Du\dfrac{e^{i\|k\|\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

となります。したがってレンズを取り付けると焦点位置では

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

という複素振幅が得られます。$k$ の $e_1,e_2$ 成分をそれぞれ $k_1,k_2$ とおくと、開口上で $u=u_0e^{i(k_1p+k_2q)}$ と書くことができます。これを代入すると

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))
\end{align}

今回はここまで。次回は平面波という如何にも人工的に成形された波動ではなく自然な波動について考えていきます。(written by J.Nishigata)


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フレネル近似