AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回は開口への垂直な平面波の印加による複素振幅をフラウンホーファー近似で計算しました。そもそもフラウンホーファー近似が成り立つためには、開口サイズに対して $r_0$ が充分大きくなければなりません。そこで今回は、開口にコンデンサレンズを取り付けてこの問題の改善を試みましょう。


コンデンサレンズの機能に関しては以前幾何光学の説明でやりました。

\begin{align}
\tau(p,q)=\dfrac{f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}}{c}
\end{align}

という分布の遅延が生じます。これをキルヒホッフの回折モデルの式に適用すると

\begin{align}
u&=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}e^{i\omega\tau}\,dS\\
&=-\dfrac{i}{\lambda}\int_D u\dfrac{e^{ik(\|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2})}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

コンデンサレンズの焦点近傍では、開口サイズに対して焦点距離は充分大きくはないため、$\|x-X\|$ の近似は $1$ 次ではだめです。しかし近似を $2$ 次までとれば $-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}$ が相殺してくれそうですね。実際に近似計算をやっていきましょう。

\begin{align}
\|x-X\|=\|x_0-X+pe_1+qe_2\|
\end{align}

ここで $x_0-X$ を $n,e_1,e_2$ で直交分解します。

\begin{align}
\|x-X\|&=\|\langle x_0-X,n\rangle n+\langle x_0-X,e_1\rangle e_1+\langle x_0-X,e_2\rangle e_2+pe_1+qe_2\|\\
&=\sqrt{\langle x_0-X,n\rangle^2+(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2}
\end{align}

点 $X$ から開口までの距離を焦点距離として、近軸近似の精度が $p,q$ と同程度であれば

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2
\end{align}

という $2$ 次の近似ができます。これをフレネルの近似と呼びます。レンズによる遅延を考慮して

\begin{align}
\|x-X\|+f_0-\sqrt{f_0^2+p^2+q^2}&\approx f_0+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_1\rangle+p)^2+\dfrac{1}{2f_0}(\langle x_0-X,e_2\rangle+q)^2-\dfrac{1}{2f_0}p^2-\dfrac{1}{2f_0}q^2\\
&=f_0+Pp+Qq+\dfrac{f_0}{2}(P^2+Q^2)
\end{align}

ここで

\begin{align}
P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{f_0},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{f_0}
\end{align}

確かに $p,q$ の $2$ 次の項が消えました。したがってキルヒホッフの積分定理を計算すると $A=f_0+f_0(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align}
u(X)&=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\int_{D}ue^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS\\
&=-\dfrac{ie^{ikA}}{\lambda f_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

コンデンサレンズを使えば充分に離れていなくても焦点距離の位置でフラウンホーファーのときと同じ式が得られます。今回はここまで。次回はフレネルのモデルのままで、印加する平面波の角度を付けて計算してみます。(written by J.Nishigata)


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フレネル近似

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キルヒホッフの積分定理の具体例として $u_0e^{i(\langle k,x\rangle-\omega t)}$ という形の波動の回折を計算しました。$u_0,k,\omega$ が変化しない光は非常に特殊です。今回は、この特殊性の話をします。


まず、角振動数 $\omega$ に関して。$\omega=\omega_0$ の条件下で重ね合わされた光を単色光と呼びます。逆に $\omega$ にばらつきがある光の重ね合わせは非単色光と呼びます。

\begin{align}
\lambda=\dfrac{2\pi c}{\omega}
\end{align}

ですので、波長の話に置き換えると文字通り分り易いでしょう。続いて波数ベクトル $k$ に関して。$k$ が空間的に一様な光を、空間的コヒーレント光と呼びます。$k$ が一様ということは波長は単一、すなわち単色であることを満足します。単色光よりも強い条件ですね。


最後に初期位相に関して。$u_0$ の位相を $\delta$ とおくと、単色光の時間振動は $e^{-i(\omega t-\delta)}$ と書くことができます。ここで $\delta$ が時間的に不変な場合、時間的コヒーレント光と呼びます。


コヒーレントの対義語はインコヒーレントですので、空間的インコヒーレント、時間的インコヒーレントも定義できますね。


今回は定義だけでしたがここまで。次回は時間的インコヒーレントな平面波を印加したフレネル回折を考えます。(written by J.Nishigata)


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コンデンサレンズへの平面波印加が垂直とは限らない場合の計算