AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回から引き続きレンズの性質を波動光学の視点で計算していきます。幾何光学のときと違い、途中の計算過程は難しいですが、最終的な結論は開口関数の逆フーリエ像になっていたりなど幾何光学に劣らず簡潔です。


今回は表題にある通り角度を付けて平面波を印加してみます。前回と同様にキルヒホッフの境界条件を仮定しますが、厳密には入射角の評価が必要です。ですが、今回は計算を簡単にするために、境界条件の再考察は省略しましょう。


波数ベクトルを $k$ とおくと、開口上では $\partial_nu=i\langle n,k\rangle u$ が成立します。この修正点だけ注意して計算すると、レンズの無い状態では

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\int_Du\dfrac{e^{i\|k\|\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

となります。したがってレンズを取り付けると焦点位置では

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

という複素振幅が得られます。$k$ の $e_1,e_2$ 成分をそれぞれ $k_1,k_2$ とおくと、開口上で $u=u_0e^{i(k_1p+k_2q)}$ と書くことができます。これを代入すると

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))
\end{align}

今回はここまで。次回は平面波という如何にも人工的に成形された波動ではなく自然な波動について考えていきます。(written by J.Nishigata)


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コンデンサレンズへの平面波印加が垂直とは限らない場合の計算

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光の観測にはセンサを使います。センサで観測される像は、一定時間にセンサに流入する光エネルギーの総量です。この観測の仕組みは、重ね合わせの観測に重要な意味を与えます。

\begin{align}
|u_1e^{-i(\omega t-\delta_1)}+u_2e^{-i(\omega t-\delta_2)}|^2=|u_1|^2+|u_2|^2+u_1u_2^{\ast}e^{i(\delta_1-\delta_2)}+u_1^{\ast}u_2e^{-i(\delta_1-\delta_2)}
\end{align}

時間的コヒーレントな場合は上の式を時間積分してもクロスタームの項が残ってしまいます。一方、時間的インコヒーレントで特に $\delta_1,\delta_2$ が相関の無い乱数の場合、時間積分するとクロスタームは消えて $|u_1|^2+|u_2|^2$ だけが残ります。すなわち時間的インコヒーレントならば観測像に重ね合わせの原理が成立します。


今回はここまで。次回は観測像の重ね合わせを用いて重ね合わされた平面波のフレネル回折を計算します。(written by J.Nishigata)


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単色光、コヒーレント光などについて