AlxisDataBlog-数学・物理学


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キルヒホッフの積分定理の具体例として $u_0e^{i(\langle k,x\rangle-\omega t)}$ という形の波動の回折を計算しました。$u_0,k,\omega$ が変化しない光は非常に特殊です。今回は、この特殊性の話をします。


まず、角振動数 $\omega$ に関して。$\omega=\omega_0$ の条件下で重ね合わされた光を単色光と呼びます。逆に $\omega$ にばらつきがある光の重ね合わせは非単色光と呼びます。

\begin{align}
\lambda=\dfrac{2\pi c}{\omega}
\end{align}

ですので、波長の話に置き換えると文字通り分り易いでしょう。続いて波数ベクトル $k$ に関して。$k$ が空間的に一様な光を、空間的コヒーレント光と呼びます。$k$ が一様ということは波長は単一、すなわち単色であることを満足します。単色光よりも強い条件ですね。


最後に初期位相に関して。$u_0$ の位相を $\delta$ とおくと、単色光の時間振動は $e^{-i(\omega t-\delta)}$ と書くことができます。ここで $\delta$ が時間的に不変な場合、時間的コヒーレント光と呼びます。


コヒーレントの対義語はインコヒーレントですので、空間的インコヒーレント、時間的インコヒーレントも定義できますね。


今回は定義だけでしたがここまで。次回は時間的インコヒーレントな平面波を印加したフレネル回折を考えます。(written by J.Nishigata)


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単色光、コヒーレント光などについて

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以前、平面波のレンズによる回折を計算しました。

\begin{align}
u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))
\end{align}

大きさの $2$ 乗を計算すると

\begin{align}
|u(X)|^2=\bigg(\dfrac{1}{2\lambda}-\dfrac{\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)^2\dfrac{1}{f_0^2}\big|\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))\big|^2
\end{align}

時間的インコヒーレントな平面波の重ね合わせの観測像は、前回やった通り $|u(X)|^2$ の重ね合わせになります。波数ベクトルに依存する

\begin{align}
\bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\lambda\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)^2
\end{align}

倍の減衰(周辺減光と呼ばれる減衰)はあるものの

\begin{align}
\dfrac{1}{\lambda^2 f_0^2}\big|\mathscr{F}^{-1}u_0\big|^2
\end{align}

による畳込みで書けることが分かりますね。この関数を実空間の物理的なスケールに変換して規格化したものを、点像分布関数、点広がり関数、PSF(Point Spread Function)、インパルス応答関数、装置関数、劣化関数など様々な名前で呼びます。


被写体からの光をコリメートしてコンデンサレンズへ印加していると考えれば、焦点位置での観測像は被写体に PSF を畳込んだ像として解釈できます。これを畳込みモデルと呼びます。


今回はここまで。次回は PSF に関連する用語として OTF, MTF, PTF, ESF, LSF を説明します。(written by J.Nishigata)


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複素振幅と観測像について