AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回はポンペイユの逆問題の話をしました。今回は特別な場合として $K$ が正方形の場合を考えてみます。


正方形の定義関数による畳込みといえば、イメージセンサの画素の形状が連想されます。ポンペイユ変換に関する研究は直接的に超解像技術へ応用できるでしょう。今回は、この応用を見越してポンペイユ変換の単射性だけではなく反転公式の導出まで考えることにします。


以下の $3$ パターンに対して反転公式を考えましょう。


i). 或る円が存在して、その外側で $f=0$ となる連続関数の場合。
ii). $f$ が自乗可積分かつ絶対可積分な微分連続関数の場合。
iii). $f$ が $2$ 階微分連続な場合。


まず、i) の場合を考えます。

\begin{align}
P(y,\theta)=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):0< s,t< 1\}}f(x+y)\,dS
\end{align}

という関数を $y$ に関して $e(\theta),e(\theta+\pi/2)$ 方向に微分すると

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P=f(y)+f(y+e(\theta)+e(\theta+\pi/2))-f(y+e(\theta))-f(y+e(\theta+\pi/2))
\end{align}

となります。ここに $e(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ です。

\begin{align}
&\sum_{s,t=0}^{n-1}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\\
&=f(y)+f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))-f(y+ne(\theta))-f(y+ne(\theta+\pi/2))
\end{align}

$f$ に課された条件より、$y$ に対して充分大きな $n$ が存在して

\begin{align}
f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))=f(y+ne(\theta))=f(y+ne(\theta+\pi/2))=0
\end{align}

が成立します。したがって

\begin{align}
\sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)=f(y)
\end{align}

反転公式が得られました。この反転公式を使う場合は $\theta$ に関して積分しておいた方が良いです。

\begin{align}
2\pi f(y)=\int_0^{2\pi}\sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\,d\theta
\end{align}

今回はここまで。次回は ii) の場合での反転公式を求めます。(written by J.Nishigata)


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正方形に対して定義されるポンペイユ変換の反転公式

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前々回、前回から引き続き $K$ が正方形の場合を考えていきます。今回は $f$ には $2$ 階微分連続という条件しか課されていませんので、前回や前々回のような議論は展開できません。特に無限遠の性質を使うような解法はすべて NG と考えるべきでしょう。逆に考えると、もしも広いクラスでの解法が見つかるのであれば、前回前々回の条件に対しても効果的な解法になっているかもしれません。


以前計算しましたが

\begin{align}
P(y,\theta)=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):-1/2< s,t< 1/2\}}f(x+y)\,dS
\end{align}

の導関数は

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P&=f(y-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)+f(y+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -f(y+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)-f(y-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)
\end{align}

でしたね。これを更に $y$ で微分してみると

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P&=\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad +\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)
\end{align}

となります。この式を $\theta$ に関して $1$ 周積分してみます。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&=\dfrac{1}{\|r+1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1\|,y)-\dfrac{1}{\|r-1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1\|,y)
\end{align}

ここで $\psi$ という関数は

\begin{align}
\psi(r,y)=\int_0^{2\pi}f(y+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

と定義しています。中心を変えて同様に

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta),\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&=\dfrac{-1/2}{\|r-1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,-1/2\|,y)+\dfrac{1/2}{\|r+1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{-1/2}{\|r+1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,-1/2\|y)-\dfrac{1/2}{\|r-1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1/2\|,y)\\
&=-\dfrac{1}{\|r-1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,-1/2\|,y)+\dfrac{1}{\|r+1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1/2\|,y)
\end{align}

したがって $h(r)=\partial_r\psi(r,y)/r$ と定義すると

\begin{align}
h(\|r+1/2,1\|)-h(\|r-1/2,1\|),\ h(\|r+1/2,1/2\|)-h(\|r-1/2,-1/2\|)
\end{align}

という $2$ つの関数値が計算可能であることが分かります。この $2$ つの式から $h$ を計算していきましょう。

\begin{align}
&A(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-1}},\\
&B(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-4}}
\end{align}

のような対応の関数を定義すると $h(\|r+1/2,1\|)-h(\|r-1/2,1\|),h(\|r+1/2,1/2\|)-h(\|r-1/2,-1/2\|)$ は $h(B(t))-h(t),h(A(t))-h(t)$ という簡単な表記になります。ここから何をやるのかというと、$t$ から適当な $A,B$ の合成によって移る点列で $t$ への自明ではない収束列が存在するのか否かを調べていきます。


今回はここまで。次回は続きをやります。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換を用いたポンペイユ変換の反転公式