AlxisDataBlog-数学・物理学


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今までの議論は数学の世界だけで通用する話でした。しかし、デコンボリューションの最終的な目的は実験的な光学の課題を解決することにあります。今回は理論的な関数の扱いではなく、実験的に得られるようなデータの扱い方を話します。


理論と実験で大きく異なる関数の特徴は以下のようにまとめられます。


i). 理論では連続であるが、実験では標本化されていること。
ii). 理論では任意の実数値をとることができるが、実験では量子化された値しかとれないこと。
iii). 理論での因果関係は入出力だけで決まるが、実験では入出力以外にノイズを考慮しなければならないこと。


このような特徴より、実験で得られたデータの微分は、理論値から大きく乖離する傾向があります。ここで気になるであろうことは、理論値からの乖離に閾値を設定してみる場合、何回くらいの微分に耐えることができるのか、ということです。標本化、量子化、ノイズそれぞれが或る程度制限された実験であれば、微分の回数上限を決定できるでしょう。$3$ 要素にばらつきが大きい場合は、その都度微分の回数上限を確認できるマップを準備しておくと良いでしょう。


微分の回数が少ない程、理論と実験は微分の意味で良く近似できていると考えられます。しかし、理論が全体として高次の微分まで用いる場合、低次の微分で近似した理論自体が本来の理論から乖離してしまっているので、期待した結果が得られるとは限りません。


微分の回数をパラメタにして、理論が乖離することと実験が乖離していくことはトレードオフにあります。


今回はここまで。次回は微分の回数に注意してデコンボリューションを考えていきます。(written by J.Nishigata)


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実際のデータの微分に関する制限

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前回は $1$ 階の動径微分を含む方法により環状項の計算を紹介しました。$G$ に含まれる演算子はラプラシアンと動径微分で張られる多項式環の部分集合ですが、ラプラシアンはフレーム内処理である一方、動径微分はフレーム間処理です。


$1$ 階の動径微分を計算するためには $r$ の差分をとれるような少なくとも $2$ フレームが必要になります。$r$ を変化させる光学的な方法を考えましょう。


まず、PSF を変化させる方法は


i). F-値を変化させる
ii). スクリーン位置を変化させる


が挙げられます。どちらの方法が今回探している方法であるのかは結像の状態に依存します。焦点面では i) は効果的ですが、焦点深度の節で確認した通り ii) は非相似に PSF を変形させるため不適切です。一方デフォーカスした状態であれば i),ii) 共に使うことができます。


i),ii) どちらも制御系の改造が必要であり、実用化するためには若干ハードルが上がるかもしれません。できる限り単一フレームで完結するデコンボリューションが好ましいでしょう。次回紹介します。(written by J.Nishigata)


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実験的に使えるデコンボリューション前半