AlxisDataBlog-数学・物理学


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まず PSF に境界条件を付加しておきましょう。

\begin{align}
k(1)=\partial k(1)=0,\partial^2k\neq 0
\end{align}

物理学的な PSF のメインローブをエミュレートしていると考えればよいです。では早速畳込み像 $\langle 1\rangle_k$ の導関数を計算していきましょう。

\begin{align}
&P_0:\langle 1\rangle_k=\langle 1\rangle_k,\\
&P_1:r^2\Delta\langle 1\rangle_k=\langle X^{-1}\partial+\partial^2\rangle_k,\\
&P_2:(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\langle X\partial\rangle_k
\end{align}

$P_1,P_2$ を更に微分していきます。$\mu_n=\partial^nk(1)$ とおくと

\begin{align}
&P_3:(r^2\Delta)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)^2\rangle_k,\\
&P_4:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k,\\
&P_5:(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\langle (X\partial)^2\rangle_k
\end{align}

次は $P_5$ を微分します。

\begin{align}
&P_6:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(3\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)(X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_7:(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (X\partial)^3\rangle_k
\end{align}

$P_3,P_4,P_6,P_7$ を連立して環状項を消去した後、更に導関数を考えていくことができますが、その前に微分の次数を確認しておきましょう。まず、動径方向の微分を $1$ 階までに制限すると、$P_5,P_6,P_7$ は利用できないことが分かります。残りの式を使って剰余項の級数を作りましょう。


$\alpha_0P_0+\alpha_1P_1+\alpha_2P_2+P_4$ を作ると

\begin{align}
&\{\alpha_0+\alpha_1(r^2\Delta)+\alpha_2(2+r\partial_r)+(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k\\
&=\mu_2\psi+\langle \alpha_0+\alpha_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-\alpha_2X\partial-(2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k
\end{align}

ここで $\alpha_0+\alpha_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-\alpha_2X\partial-(2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)$ の $L_2$ 計量の最小値を与える $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2$ を最小二乗法で算出すれば

\begin{align}
\mu_2\psi\approx \{\alpha_0+\alpha_1(r^2\Delta)+\alpha_2(2+r\partial_r)+(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

という近似式が得られます。$\partial_r\psi$ に関しても同様にやればできます。今回はここまで。次回は動径方向への導関数に関する注意点を書きます。(written by J.Nishigata)


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実験的に使えるデコンボリューション前半

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前々回の式を復習しましょう。

\begin{align}
&P_0:\langle 1\rangle_k=\langle 1\rangle_k,\\
&P_1:r^2\Delta\langle 1\rangle_k=\langle X^{-1}\partial+\partial^2\rangle_k,\\
&P_2:(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\langle X\partial\rangle_k,\\
&P_3:(r^2\Delta)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)^2\rangle_k,\\
&P_4:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k,\\
&P_5:(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\langle (X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_6:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(3\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)(X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_7:(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (X\partial)^3\rangle_k
\end{align}

今回考えるフレーム内処理では動径微分が禁止されています。これを言葉通りに解釈すると使える方程式は $P_0,P_1,P_3$ のみであり、$\psi,\partial_r\psi$ の両方を計算することはできません。フレーム内処理によって近似的に動径微分を計算することを考えてみましょう。


$P_0,P_1,P_2$ を連立させて

\begin{align}
\{c_0+c_1(r^2\Delta)+(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k=\langle c_0+c_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-X\partial\rangle_k
\end{align}

右辺をコーシーの不等式で評価して最小二乗法により $c_0,c_1$ を求めれば

\begin{align}
(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k\approx -\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

のような近似が成立します。数学的には、更なる導関数(例えば $(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$)に関しては全く主張は得られないのですが、仮に

\begin{align}
(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k= -\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

として議論を進めることにします。すると $P_4,P_5,P_6,P_7$ も使えるようになります。

\begin{align}
&(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\{c_0(r^2\Delta)+c_1(r^2\Delta)^2\}\langle 1\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\{c_0^2+2c_1(c_0-1)(r^2\Delta)+c_1^2(r^2\Delta)^2\}\langle 1\rangle_k,\\
&(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\{c_0^2(r^2\Delta)+2c_1(c_0-1)(r^2\Delta)^2+c_1^2(r^2\Delta)^3\}\langle 1\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=-\{c_0^3+c_1(3c_0^2-6c_0+4)(r^2\Delta)+3c_1^2(c_0-2)(r^2\Delta)^2+c_1^3(r^2\Delta)^3\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

剰余項の生成式を増やすために $P_3,P_4$ を整理しておきましょう。

\begin{align}
P_8:\mu_2P_3+(\mu_2+\mu_3)P_4
\end{align}

$P_4,P_8$ を用いて $P_6,P_7$ から環状項を消去します。

\begin{align}
&P_9:-P_3+2P_4+P_6,\\
&P_{10}:-P_4+P_7
\end{align}

更に微分してと続けても良いのですが、ラプラシアンの次数に配慮して、この辺りで剰余項の生成を終わりにしましょう。ここからは前々回と同様ですので割愛します。


今回はここまで。次回は動径微分をもう少し良く近似できるようにします。(written by J.Nishigata)


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動径方向への微分の実現方法